Sinus de la suma de dos angles

Amb aquesta clàssica construcció es demostra la fórmula del sinus de la suma d'angles

Ho sento l'Applet de GeoGebra no s'ha pogut engegat. Comprova que tinguis instal·lat i actiu el Java 1.4.2 (o posterior) al teu navegador (Fes clic aquí per instal·lar ara el Java)

En qualsevol moment de la construcció es poden variar els angles α i β i tot el dibuix s'adapta als nous valors.

La barra inferior ens permet reconstruïr la figura pas a pas:

• Primer ( passos 1, 2 i 3 ):
      La construcció s'inicia al punt A on es dibuixa l'angle α+β i una circumferència de radi 1.
• Segon ( passos 4 i 5 ):
      Dibuixem el triangle rectangle vermell ACD.
      Cal fixar-se que el costat CD és sin(α+β) l'objectiu de la construcció.
• Tercer ( passos 6, 7, 8, 9 i 10 ):
      Dibuixem l'angle β al vèrtex C a continuació de l'angle ACF.
      Dibuixem el triangle blau CFA.
      Cal fixar-se que els catets representen Cos β i Sin β.
• Quart (passos 11, 12 i 13):
      Prolonguem les rectes CF i AD i formem triangle verd GFA
      Ara cal fixar-se que l'angle FGA és α
      I que la hipotenusa del triangle verd GA es pot expressar com sin β / sin α
      ja que al triangle verd sin α = AF/GA = sin β / GA
      També que el catet GF és cos α · sin β / sin α
• I cinquè:
      Considerem el triangle conjunt DCG on
      sin α = CD / CG = CD / (CF+FG) = sin (α+β) / ( cos β + cos α sin β / sin α)
      expressió en la que aillant sin (α+β) ja tenim la fórmula que cerquem:
  
  sin (α+β) = sin α cos β + cos α sin β

Enric Brasó, Creat amb GeoGebra

Web realitzada per Enric Brasó i Campderrós,  podeu contactar amb mi a través del mail ebraso@xtec.cat

El treball inicial ha estat fet en el marc de la llicència retribuïda concedida pel Dep. d'Educació (DOGC núm:4968 del 14-09-2007)

Els materials estan sota la llicència Creative Commons Reconeixement-No comercial-Compartir

Altres treballs i col·laboracions