El teorema del sinus

Mou els vèrtexs A, B i C del triangle.

Aquesta construcció sempre es manté, sigui quina sigui la seva posició.

El primer pas d'aquesta construcció consisteix a dibuixar les mediatrius de cada costat per determinar el punt on es troben anomenat circumcentre O ja que és el centre de la circumferència circumscrita al triangle. Un cop dibuixades, les 3 mediatrius s'han amagat per tal de no enredar el dibuix.

En segon lloc es dibuixen els segments OB, OC i OM on M és el punt mig del costat a

Ho sento l'Applet de GeoGebra no s'ha pogut engegat. Comprova que tinguis instal·lat i actiu el Java 1.4.2 (o posterior) al teu navegador (Fes clic aquí per instal·lar ara el Java)

Ara cal raonar que:

• L'angle BOC és el doble que l'angle α ja que els angles centrals mesuren el doble que els inscrits que abarquen el mateix arc.
• L'angle α₁ és la meitat del BOC ja que el triangle BOC és isosceles doncs els costats OB i OC són iguals al radi de la circumferència i l'altura és OM.
• Per tant els angles α i α₁són iguals tal com comprova el mateix GeoGebra al donar-nos els seus valors.
• Ara al triangle rectangle MOC tenim que sin α = sin α₁ = (a/2) / R
  La hipotenusa OC s'anomena R ja que és el radi de la circumferència circumscrita.
• Aïllant es té : 2R = a / sin α
• Com que es pot fer el mateix pels altres costats:
  2R = b / sin β                 2R = c / sin γ
• I ja es conclou l'anomenat teorema del Sinus, vàlid per a tots els triangles.

Creat amb Geogebra per Enric Brasó

Web realitzada per Enric Brasó i Campderrós,  podeu contactar amb mi a través del mail ebraso@xtec.cat

El treball inicial ha estat fet en el marc de la llicència retribuïda concedida pel Dep. d'Educació (DOGC núm:4968 del 14-09-2007)

Els materials estan sota la llicència Creative Commons Reconeixement-No comercial-Compartir

Altres treballs i col·laboracions