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Sobre la derivada en un punto

Suponiendo que f indica una función definida en un entorno de x=a, se dice que f es derivable en x=a, si el siguiente límite es finito

(Lo designaremos por )

El número se llama derivada de f en x=a.

  • Cuando el límite anterior da ó , y la función f es continua en x=a, se dice que f tiene derivada infinita en x=a (gráfica 1, inferior).
  • Cuando el límite anterior no existe, pero existen los dos límites laterales (por tanto, serán distintos), se dice que f tiene un punto anguloso en x=a (gráfica 2, inferior).

                      

Relación entre continuidad y derivabilidad

Es importante que no olvides lo siguiente:

  • Siempre que exista, f será continua en x=a, pero hay casos en que, siendo f continua en un punto, no existe la derivada en dicho punto (gráfica 2, superior).

Ejemplo: Función , en punto x=0

Como |x| y son continuas, f también. Pero,

Interpretación de la derivada

Las interpretaciones del número son muchas y muy variadas. Te interesan, sobre todo, las siguientes:

  1. es la pendiente de la recta, t, que resulta como límite de la secante AB cuando el punto B tiende a confundirse con el A. Dicha recta se llama tangente a la gráfica en el punto A(a, f(a))
  2. Cuando f indica el espacio, y x el tiempo, entonces es lo que se llama velocidad en el instante x=a.
  3. En un punto anguloso, la función es continua, y no es derivable, porque en él no hay una recta tangente, sino dos semitangentes, como muestra la siguiente gráfica.

Función derivada. Derivadas sucesivas

Para cada valor de x, en el que f sea derivable, tendremos el número f’(x). Así, si asociamos cada x con el número f’(x), tendremos una nueva función (obtenida a partir de f ). Dicha función se llama derivada de f, y se designa por f’

La derivada 2ª de f es, la derivada de f’, y se indica por f". La derivada 3ª de f es la derivada de f", etc.

Ejemplo 1

Si , su derivada 1ª es , ya que, en cualquier valor x=a se obtiene

Puedes comprobar que su derivada 2ª es 2.

 

Fórmulas para el cálculo de derivadas

El cálculo de la derivada de una función pocas veces puede hacerse utilizando el límite de la definición de derivada. Entonces... ¿cómo se hace?

  • En primer lugar, deberás memorizar las fórmulas generales para las derivadas de las funciones habituales (o sea, para las que suelen verse en las teclas de cualquier calculadora científica). A la derecha puedes ver algunas (no todas, mira en el libro las que falten).
  • En segundo lugar, deberás memorizar las reglas de derivación de las operaciones (suma, resta, producto, cociente y compuesta)
  • Y en tercer lugar, cuando te encuentres con varias operaciones y/o funciones mezcladas en una misma expresión, deberás saber decidir qué regla de derivación aplicas primero. La norma es ésta: "Se aplica primero la regla de la operación, o función, que tiene en esa expresión la menor prioridad, es decir, la última operación en hacerse será la primera a derivar"

Ejemplo: Derivada de

Como en la expresión lo último que haríamos sería la suma, empezamos por la regla de derivar la suma:

La expresión es una cadena; su derivada será el producto de las derivadas, pero así:

En definitiva, .

Algunas fórmulas elementales

  1. Si k constante,
  1.   
  2.   

Fórmulas para las operaciones

  1.   
  2.   
  3.   
  4. La derivada de una compuesta (o cadena) se obtiene multiplicando las derivadas de las funciones componentes, pero aplicando cada una en el punto que corresponda, o sea,
  5. Las funciones de la forma se pueden derivar tomando primero la derivada de su logaritmo (derivación logarítmica). Así:


Algunos problemas típicos

Cómo derivar una función definida a trozos?

Imagina una función como

Para calcular , empezamos estudiando la continuidad de .

  1. Si , entonces f será continua en . Si no lo es, ya podremos decir que no existe .

Después, hallaremos para :

Para hallar , podemos intentarlo aplicando el siguiente enunciado (basado en el teorema del valor medio, que se ve más adelante)

Enunciado: Suponiendo f continua en x=a,

  • Si existe , entonces

      (Para el enunciado es similar)

Así pues, hallaremos los límites

  • y si coinciden (y son finitos) podremos decir que existe (Si son distintos, o , no existirá)

 

Problemas de contacto entre curvas

Observa las dos figuras siguientes: En la primera, suele decirse que las funciones f y g tienen un contacto de orden 0; en casos como el de la segunda, diremos que tienen un contacto de orden superior.

 

               

                 

 

  • En ciertos problemas, te hablarán de una curva, , de una recta, (u otra curva), y de un contacto tangencial entre ambas. Recuerda, entonces, que las condiciones en esa situación son las de la figura 2 (lee el ejemplo 3)

Ejemplo 2   

Para calcular , empezamos estudiando la continuidad de .

  1. Es obvia la continuidad si Además,

  

Por tanto, también es continua en x=1.

Después, hallaremos para

Ahora, para hallar las derivadas laterales en x=1, calculamos los límites laterales de f :

        

        

Ambas derivadas son distintas, luego no existe la derivada en x=1. Lo que ocurre con la gráfica en ese punto es claro: "Tiene una semitangente por la izquierda de pendiente 9, y otra por la derecha de pendiente 1; por tanto, tiene punto anguloso en x=1"

 

Ejemplo 3

  • Sea la función . Si la recta de ecuación es tangente en x=1 a la gráfica de f , ¿cuánto valen los números b y c ?

      Solución

Basta imponer las condiciones de contacto tangencial x=1:

  

2ª   Como y ,

        

De ambas igualdades resulta el sistema

, de solución

Observación: El problema se resolvería igual si, por ejemplo, en vez de la recta , hubieran hecho referencia a otra función. Por ejemplo, si la tangente a la gráfica de f hubiera sido la curva (Inténtalo en ese caso)


Ejercicios propuestos

1. Obtén la derivada de a) b)

2. Idem, derivada de

3. Calcula a y b, si las curvas son tangentes en x= -1. (Sol: a=b= -1).