Suponiendo que f indica una función definida en un entorno de x=a, se dice que f es derivable en x=a, si el siguiente límite es finito

(Lo designaremos por )

El número se llama derivada de f en x=a.

• Cuando el límite anterior da ó , y la función f es continua en x=a, se dice que f tiene derivada infinita en x=a (gráfica 1, inferior).
• Cuando el límite anterior no existe, pero existen los dos límites laterales (por tanto, serán distintos), se dice que f tiene un punto anguloso en x=a (gráfica 2, inferior).

• Siempre que exista, f será continua en x=a, pero hay casos en que, siendo f continua en un punto, no existe la derivada en dicho punto (gráfica 2, superior).

Ejemplo: Función , en punto x=0

Como |x| y son continuas, f también. Pero,

Las interpretaciones del número son muchas y muy variadas. Te interesan, sobre todo, las siguientes:

1. es la pendiente de la recta, t, que resulta como límite de la secante AB cuando el punto B tiende a confundirse con el A. Dicha recta se llama tangente a la gráfica en el punto A(a, f(a))



2. Cuando f indica el espacio, y x el tiempo, entonces es lo que se llama velocidad en el instante x=a.
3. En un punto anguloso, la función es continua, y no es derivable, porque en él no hay una recta tangente, sino dos semitangentes, como muestra la siguiente gráfica.

Para cada valor de x, en el que f sea derivable, tendremos el número f’(x). Así, si asociamos cada x con el número f’(x), tendremos una nueva función (obtenida a partir de f ). Dicha función se llama derivada de f, y se designa por f’

La derivada 2ª de f es, la derivada de f’, y se indica por f". La derivada 3ª de f es la derivada de f", etc.

Si , su derivada 1ª es , ya que, en cualquier valor x=a se obtiene

Puedes comprobar que su derivada 2ª es 2.

• En primer lugar, deberás memorizar las fórmulas generales para las derivadas de las funciones habituales (o sea, para las que suelen verse en las teclas de cualquier calculadora científica). A la derecha puedes ver algunas (no todas, mira en el libro las que falten).

• En segundo lugar, deberás memorizar las reglas de derivación de las operaciones (suma, resta, producto, cociente y compuesta)
• Y en tercer lugar, cuando te encuentres con varias operaciones y/o funciones mezcladas en una misma expresión, deberás saber decidir qué regla de derivación aplicas primero. La norma es ésta: "Se aplica primero la regla de la operación, o función, que tiene en esa expresión la menor prioridad, es decir, la última operación en hacerse será la primera a derivar"

Ejemplo: Derivada de

La expresión es una cadena; su derivada será el producto de las derivadas, pero así:

En definitiva, .

1. Si k constante,

1.   
2.   
3.   
4. La derivada de una compuesta (o cadena) se obtiene multiplicando las derivadas de las funciones componentes, pero aplicando cada una en el punto que corresponda, o sea,
5. Las funciones de la forma se pueden derivar tomando primero la derivada de su logaritmo (derivación logarítmica). Así:

Imagina una función como

Para calcular , empezamos estudiando la continuidad de .

1. Si , entonces f será continua en . Si no lo es, ya podremos decir que no existe .

Después, hallaremos para :

Para hallar , podemos intentarlo aplicando el siguiente enunciado (basado en el teorema del valor medio, que se ve más adelante)

Enunciado: Suponiendo f continua en x=a,

• Si existe , entonces

      (Para el enunciado es similar)

• y si coinciden (y son finitos) podremos decir que existe (Si son distintos, o , no existirá)

Observa las dos figuras siguientes: En la primera, suele decirse que las funciones f y g tienen un contacto de orden 0; en casos como el de la segunda, diremos que tienen un contacto de orden superior.

• En ciertos problemas, te hablarán de una curva, , de una recta, (u otra curva), y de un contacto tangencial entre ambas. Recuerda, entonces, que las condiciones en esa situación son las de la figura 2 (lee el ejemplo 3)

Para calcular , empezamos estudiando la continuidad de .

1. Es obvia la continuidad si Además,

Ahora, para hallar las derivadas laterales en x=1, calculamos los límites laterales de f ‘ :

• Sea la función . Si la recta de ecuación es tangente en x=1 a la gráfica de f , ¿cuánto valen los números b y c ?