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Distancia ...

¨ Entre dos puntos, A y B.

    Por definición, distancia de A a B es el módulo del vector .

    Suponiendo A = (a1, a2, a3) y B = (b1, b2, b3),

d(A,B) = =

 


¨
 De un punto, A, a un plano p.

    La menor de las distancias de A a los puntos de p se llama distancia del punto A al plano p.    

    Si A indica la proyección ortogonal de A sobre
p, entonces  d(A,A) es, precisamente, la distancia de A a p, porque
(figura)

    Generalmente, podrás hallar d(A, p) de dos formas:

  1. Calculando primero A, y luego d(A,A). (A se hallará como intersección de p con la recta por A perpendicular a p)
  2. Aplicando la siguiente fórmula:

 

 


¨  De un punto, A, a una recta r.

    La menor de las distancias de A a los puntos de r se llama distancia del punto A a la recta r.

    Si A indica la proyección de A sobre r, entonces d(A,A) es, precisamente, la distancia de A a r.

    Generalmente, podrás hallar d(A,r) de dos formas:

    1. Calculando primero A, y luego d(A,A). (A se hallará como intersección de r con el plano por A perpendicular a r)

    2. Aplicando la fórmula:  (X indica un punto cualquiera de r)

 

 

 

¨ De una recta, r, a un plano, p, paralelo a ella.

    Si A es punto de r, la menor de las distancias de A a los puntos de p se llama distancia de r al plano p.

    Para hallar d(r, p), deberás, pues, tomar en r un punto A y, luego, calcular d(A, p).

 


¨
 
Las distancias entre rectas paralelas, y entre planos paralelos, son similares a este último caso.

¨ Damos aparte el caso de distancia entre rectas que se cruzan.

 

Ejercicios propuestos: 15, 16 (pág. 146), 18, 19 (pág. 147), 21, 23, 24 (pág. 149), 29, 30 (pág. 153)


Distancia ...

¨ Entre dos rectas, r y s, que se cruzan.

    Si r y s se cruzan, puede probarse que hay una sola recta, t, que corta perpendicularmente a ambas. La recta t se llama perpen-dicular común a r y s. Si Ar y As son los puntos de corte, se toma el número d(Ar ,As) como distancia entre r y s.

     Podrás hallar d(r,s) de dos formas:
  1. Hallando los puntos de corte Ar y As (ve método 2, más adelante)

  2. Aplicando la fórmula
                          
    (
    Xr y Xs indican puntos, elegidos libremente, en r y s, respectivamente)



Dos formas de hallar la perpendicular común

  1. Si r y s vienen dadas en forma general, suele convenir usar la ecuación del haz de planos como sigue.
  2. Caso práctico:

    1 Hallamos el vector , que será director de la perpendicular común.
        En este caso, da . (Como sólo lo usamos como director, podemos tomar )

    2 La perpendicular común es el corte de dos planos: uno, pr, conteniendo a r y otro, ps , conteniendo a s (fig. 2)

    Plano pr:

    3 El vector debe ser ortogonal a los vectores y

    , ,

    , ,

    Por tanto, . Finalmente,

    Ecuaciones perpendicular común

  3. Si r y s vienen dadas en forma paramétrica, suele convenir el cálculo de los puntos de corte, Ar y As.
Caso práctico:

1 Los puntos Ar y As se podrán poner así: Ar = (1+k, 1-k , 1), As = (1-k, 2, k ). Con lo cual, el vector director de la perpen-dicular común es: .

2 Como debe ser ortogonal a ,

De ese sistema, salen k y k, y por tanto, los puntos Ar y As.

 

Perpendicular común: recta t

             

 

 

 

 

 

Figura 2

 

Ejercicios propuestos:     26 a,b,d (pág. 151), 25 (pág. 161)