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El teorema del valor medio del Cálculo Diferencial

El teorema de más aplicación teórica en todo el Cálculo Diferencial es el llamado teorema del valor medio.

Intuitivamente, el teorema es evidente, tanto en su interpretación geométrica como en su interpretación física. Como puedes ver en la figura de la derecha,

  • si un arco de curva AB es suave, es decir, si tiene recta tangente en todos sus puntos, entonces existe al menos un punto intermedio, C, en el cual la recta tangente resulta paralela a la secante AB.

Eso significa que las pendientes de ambas rectas serán coincidentes, es decir,

Escrito de otro modo:

Pues bien, éste es el

Teorema del valor medio

Si f es una función derivable en el intervalo [a,b], existe al menos un número c, entre el a y el b, con el cual se cumple la fórmula:

Como hemos dicho, sus consecuencias son muchas. Aquí nos limitaremos a la siguiente:

  • Si en un intervalo, I, se cumple para cada , entonces f es una función creciente en I

En efecto, si a y b son puntos en I tales que ,

Obviamente, si en un intervalo, f es decreciente, de todo lo cual resulta el siguiente método para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función (llamados intervalos de monotonía)

Cómo hallar los intervalos de monotonía.
  1. Se resuelve la ecuación .
  2. Se hallan las discontinuidades de .
  3. Los valores obtenidos en 1 y 2 se sitúan en el eje X, obteniéndose así intervalos donde tendrá signo constante (bastará, pues, elegir un número en cada intervalo y hallar el signo de para ese número). Los signos resultantes se resumen luego en un esquema del tipo:

Donde cambie el crecimiento, siendo continua la función, obtendremos un máximo, o un mínimo, según el caso.

Vista geométrica del teorema del valor medio

 

El teorema del valor medio en Cinemática

En un movimiento rectilíneo, en el que el espacio venga dado en función del tiempo por una ecuación , la velocidad media en un intervalo de tiempo es

Según el teorema del valor medio, ese valor, es decir, la velocidad media, debe coincidir con alguna expresión de la forma con algún valor de t comprendido entre los instantes inicial y final. Como es la velocidad en el instante t, la conclusión resulta evidente:

  • En algún instante, la velocidad instantánea ha coincidido con la velocidad media.

 

Representación de funciones polinómicas:

Generalmente, podrás obtener la gráfica de una función polinómica, f, cubriendo 3 etapas:

  • Etapa 1: Soluciones de

(Señaladas sobre el eje X, permiten obtener el llamado esquema de zonas)

Míralo en el ejemplo 1
  • Etapa 2: Soluciones de

(Señaladas sobre el eje X, permiten obtener el llamado esquema de monotonía)

Míralo en el ejemplo 1
  • Etapa 3: Soluciones de

(Señaladas sobre el eje X, permiten obtener el llamado esquema de concavidad)

Míralo en el ejemplo 1

Observaciones
  1. Cabe la posibilidad de que alguna de estas etapas no puedas cubrirla, debido, naturalmente, a que la ecuación resultante es difícil de resolver. En tal caso, deberás intentar dibujar la curva extrayendo la información necesaria de las otras 2 etapas. Por ejemplo, si lo intentas con la curva , verás que te resulta difícil resolver la primera ecuación.
  2. No busques asíntotas de una función polinómica; no tiene (salvo el caso evidente de que se trate de una polinómica de 1er grado).
  3. Si todos los exponentes de la función son pares, dará lo mismo que . Entonces, bastará dibujar la gráfica para valores positivos de x, ya que será una gráfica simétrica respecto del eje Y.
  4. Fíjate bien en casos como el del ejemplo de la derecha; entonces, suele ser conveniente no desarrollar las potencias, porque en la derivada se obtienen factores comunes que permiten calcular con facilidad las raíces correspondientes.

 

 

Ejemplo 1: Gráfica de

Etapa 1:

Etapa 2:

El esquema indica claramente que hay:

  • Máx. en
  • Mín. en

Etapa 3:

El esquema indica claramente que hay:

  • Puntos de inflexión en

Trazado de la gráfica
  1. Señala primero los puntos obtenidos
  2. Empieza luego el trazado por debajo del eje X (como indica el esquema de zonas)
  3. Dibuja de cada punto al siguiente punto tal como indiquen los esquemas 2 y 3... y obtendrás:
    4.

 

Representación de funciones racionales:

Las etapas son sustancialmente las mismas que en el caso anterior, pero en la etapa 1 determinaremos ya las discontinuidades de la función y las asíntotas:

  • Etapa 1: a) Soluciones de

    b) Discontinuidades de f

(Señalados sobre el eje X los valores obtenidos en a) y en b), darán el llamado esquema de zonas)

    c) Asíntotas

(Las verticales las obtendrás igualando a 0 el denominador, pero ¡debes comprobarlas!

Recuerda que, cuando se puede hacer la división, la fracción se puede descomponer en suma y, una vez hecha esa descomposición, queda a la vista si hay asíntota horizontal u oblicua.

Recuerda también que las asíntotas de una función de este tipo lo son por ambos lados)

Mira el ejemplo 1
  • Etapa 2: Sol. de , y discontinuidades de

(Señaladas sobre el eje X, nos darán el esquema de monotonía)

Consejo: Antes de desarrollar cuadrados en el denominador..., ¡cuenta hasta 1000! ¿Entiendes?

Mira el ejemplo 1 (no desarrollando el denominador, vemos claras simplificaciones posteriores)
  • Etapa 3: Sol. de y discontinuidades de

(Señaladas sobre el eje X, permiten obtener el llamado esquema de concavidad)

Mira el ejemplo 1 (una vez más, por no desarrollar el denominador, vemos una simplificación posterior)

Observaciones
  1. Una vez más, si alguna de las ecuaciones indicadas resulta difícil de resolver, tendrás que ingeniártelas para descubrir la forma de la gráfica mediante los otros esquemas.
  2. Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador, el eje X será asíntota. ¡No lo olvides!
  3. No olvides tampoco que sólo hay asíntota oblicua cuando el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador (por ejemplo, numerador de grado 3, y denominador de grado 2)
    4.
  4. Si has hecho la división para descomponer en suma la fracción, a la hora de calcular , deriva esa suma (suele dar menos cálculo, y menos riesgo de error)

 

Ejemplo 1: Gráfica de

Etapa 1:

  • Soluciones de :
  • Discontinuidades: (¡Atención! El 1 aparecerá en todos los esquemas)

  • Asíntotas: A.V.

         luego es la asíntota (horizontal)

Etapa 2:

Mín. en (¡OJO! No digas que hay máximo en x=1, ¡no está definida!)

Etapa 3:

  • Inflexión

Trazado de la gráfica

  1. Señala los puntos obtenidos y dibuja las asíntotas
  2. Empieza luego el trazado por encima del eje X (como indica el esquema de zonas)
  3. Dibuja de cada punto al siguiente punto tal como indiquen los esquemas 2 y 3... y aproxima la gráfica "suavemente" a las asíntotas. Obtendrás:

Ejercicios propuestos

 1. Dibuja las gráficas de las siguientes funciones:

     a)     b)     c) 

2. Idem, de las funciones:   a)      b)      c)  


Dos ejemplos de funciones no racionales

En casos de funciones no racionales, las etapas son esencialmente las mismas que en el caso de funciones racionales, pero en la primera etapa debes empezar determinando el dominio (los esquemas que hagas deberán referirse sólo al dominio), y debes prestar especial atención a la posibilidad de que

  1. la función tenga asíntotas diferentes cuando y cuando (si ves que contiene expresiones exponenciales ( ), es muy probable que salgan asíntotas diferentes por los dos lados)
  2. la función sea periódica (si ves que contiene expresiones trigonométricas, es muy probable que lo sea; entonces, haz todos los cálculos en un intervalo de longitud igual al período, y no busques más que asíntotas verticales, porque no existirán horizontales, ni oblicuas)

Ejemplo 3: Gráfica de la función

  • Etapa 1: a) Soluciones de . No hay

      b) Discontinuidades de f :

    c) Asíntotas: A.V.

A.H.Izq.

A.H.Der. No hay
  • Etapa 2: discontinuidades de :

Mínimo en (1, f(1)) = (1, e)
  • Etapa 3: Sin soluc.

En la tabla siguiente, puedes ver la gráfica resultante.

Ejemplo 4: Gráfica de

Etapa 1: Es evidente que , luego la función es periódica, de período 2p. Basta, pues, representarla en [0,2p], y buscar sólo datos en dicho intervalo.

Por tanto,

  • Evidentemente, ni f, ni sus derivadas, tienen discontinuidades

Etapa 2:

Por tanto,

Máximo en (

Mínimo en

Etapa 3:

      Por tanto,

En la tabla siguiente, puedes ver la gráfica resultante.


Gráfica de

Gráfica de

La gráfica se completaría copiando este mismo arco en los intervalos restantes: