NOTA: Si en los distintos apartados salen en gris las escenas, clica aquí para instalar el plugin de Java a través de Internet)

1. ¿Por qué son insuficientes los números reales?

  En la siguiente escena está representada gráficamente la función:  
y = ax2+bx+c
  En ella puedes cambiar los valores de a, b y c para ver cómo cambia la gráfica para distintos valores de esos coeficientes.

 

1. Al principio ¿cuáles son las coordenadas de los puntos, P1 y P2, en que la gráfica corta al eje X? 

2. ¿Cómo calcularías algebraicamente esas coordenadas? 

3. ¿Cuáles son las soluciones de la ecuación x2-4x+3=0? 

4. ¿Y las de x2-2x+1=0? 

5. ¿Y las de x2-6x+11=0? 

6. Puedes dar otros valores a los coeficientes a, b y c, y con la ayuda de la escena ir resolviendo la ecuación      

ax2+bx+c=0

Ya te habrás dado cuenta de que para hallar los puntos de corte con el eje X de la gráfica de la función y = ax2+bx+c, has tenido que resolver la ecuación ax2+bx+c=0, mediante la fórmula:

Dicha fórmula nos da las dos soluciones de la ecuación, x1, x2, o, lo que es lo mismo, los puntos de corte de la función con el eje X: P1(x1,0), P2(x2,0)

Pero, si has hecho los apartados 4 y 5, habrás visto que NO SIEMPRE da dos soluciones.

¿De qué depende que la ecuación tenga dos, una o ninguna solución?

Si llamamos discriminante a la expresión D = b2-4ac, obtenemos los siguientes resultados, según cuál sea el signo de la misma

Discriminante
Ecuación
 FUNCIÓN
D > 0 
Dos soluciones
 Dos puntos de corte con el eje X
D = 0 
Una solución
 Un punto de corte con el eje X
D < 0 
Ninguna solución
 Ningún punto de corte con el eje X

Ahora, ya vemos por qué son insuficientes los números reales: "Entre ellos, no hay solución para las ecuaciones de discriminante negativo". Dicho de otro modo, en problemas en que aparezca una raíz cuadrada de un número negativo no podremos encontrar solución dentro del conjunto de los números reales.

Al número complejos1_2.gif (954 bytes) se le llama unidad imaginaria
 

Así al resolver la ecuación x2-6x+11=0 del apartado 5, nos queda:

             

Las expresiones tales como complejos1_5.gif (973 bytes) se le llaman números complejos
 

a + bi
  Número complejo en forma binómica
a y b
  números reales
a
  parte real
b
  parte imaginaria

2. Representación gráfica de los números complejos

Los números complejos se representan mediante vectores. Al extremo del vector se le llama AFIJO del complejo. Por ejemplo,

el AFIJO del número complejo 2+3i es el punto (2,3) "

 

En el eje horizontal representamos la PARTE REAL del número complejo, por eso se le llama EJE REAL 

En el eje vertical representamos la PARTE IMAGINARIA del número complejo, por eso se le llama EJE IMAGINARIO 

Mueve con el ratón el AFIJO del número complejo de esta escena y podrás ver su representación gráfica por un vector. 

Si quieres representar un número complejo de forma más exacta, puedes introducir en la parte inferior de la escena los valores de la parte real a, y de la parte imaginaria b y pulsar ENTER.

EJERCICIO 1

a) Representa en tu cuaderno los siguientes números complejos: 5 + 2i,  -4 + 3i,  -3 - 2i,  4'5 - 3i,  5 i, -2i,  -3.8,   1,   -1,   i,   -i

b) Comprueba tus representaciones en la escena anterior


3. Opuesto y Conjugado
 
Opuesto de z
Conjugado de z
z = a+bi
-Z = -a-bi

En la siguiente escena están expresados gráficamente un número complejo, su opuesto y su conjugado.

 

Si mueves el AFIJO de z, irás viendo la representación y la expresión del opuesto y del conjugado de z. 


EJERCICIO 2  

a) Representa gráficamente en tu cuaderno los siguientes números complejos, sus opuestos y sus conjugados: 

3-5i, 5+2i, -1-2i, -2+3i, 5, 0, 2i, -5i 

b) Comprueba tus representaciones y expresiones en esta escena.


4. Las potencias de i

 Observa: "Se repiten cada 4"
 

En esta escena puedes ver in, y su representación gráfica. 

Cambia el valor de n en la parte inferior para ver las sucesivas potencias de i 

Para hallar in, basta dividir n entre 4; entonces, el RESTO de la división entera será el nuevo exponente. Al ser el divisor 4, el RESTO sólo puede valer 0, 1, 2 o 3. 

Así para efectuar i243 haremos: 

  i243 = i3= - i



EJERCICIO 3

Calcula las siguientes potencias de i y representa gráficamente los resultados. Compruébalos en la escena anterior.  i189,   i134,  i275,  i1284