NOTA: Si en los distintos apartados salen en gris las escenas, clica aquí para instalar el plugin de Java a través de Internet.

5. Operaciones con números complejos en forma binómica

5.1 SUMA Y RESTA EN FORMA BINÓMICA

La suma y la resta de números complejos se realizan siguiendo las reglas de las operaciones de los números reales. También son equivalentes a la suma y la resta con vectores, teniendo en cuenta que a cada número complejo se le hace corresponder un vector.

Número complejo: a + bi  
—>
   Vector: (a,b)

En la escena siguiente están representados los números complejos z1=a+bi   y   z2=c+di, así como su suma, z1+z2   y su resta, z1-z2 (Recuerda el paralelogramo que se forma con dos vectores, cuyas diagonales son la suma y la resta de los mismos, fíjate bien en la escena)



Puedes cambiar los valores de a, b, c y d, moviendo los AFIJOS de z1 y/o z2 con el ratón, o bien introduciendo sus valores en la parte inferior de la escena. 

Como es tan fácil, mirando la escena y sus movimientos, tienes que averiguar cómo se SUMAN y se RESTAN números complejos. 

Clica aquí para ver otro applet de la suma de números complejos.

EJERCICIO 4  

Efectúa las siguientes operaciones en tu cuaderno y haz una comprobación posterior en la escena: 
Nota: Recuerda que si una imagen se te sale de la escena, puedes cambiar la escala o mover los ejes, en la parte superior de la misma.

 a)  (3+i) + (1-3i)         b)  (-5+3i) - (6+4i)         c)  (0.5-4i)+(-1.5-i)        d)   (-3.8+2.4i) - (1.3+0.5i)


5.2 MULTIPLICACIÓN EN FORMA BINÓMICA

La multiplicación se efectúa igual que si fuesen números reales, pero teniendo en cuenta que 

¡ATENCIÓN! la multiplicación de complejos no es equivalente al producto escalar de vectores. Pero para comprobar resultados, podemos representar los complejos que se multiplican por sus vectores, y el resultado del producto por el vector correspondiente al complejo producto.
 



En la escena adjunta se muestra la forma de realizar el producto de dos números complejos, z1.z2=(a+bi)(c+di) 

Moviendo los AFIJOS de z1 y z2, o introduciendo los valores de a, b, c y d, puedes ir viendo los resultados. 

Clica aquí para ver otro applet de la suma de números complejos.

EJERCICIO 5  

Efectúa las siguientes multiplicaciones en tu cuaderno y haz una comprobación posterior en la escena: 

a) (-2-2i)(1+3i)        b) (2+3i)(5-6i)        c) (2+3i)(-2-3i)        d) (-1-2i)(-1+2i)

e) ¿Qué ocurre cuando se multiplica un complejo por su conjugado (apartado d)? Prueba con otros y explica qué tienen de común todos los resultados.

f) ¿Qué ocurre cuando multiplicamos cualquier número complejo por i ? Compara el número complejo con el resultado y deduce la relación entre ellos.



5.3 DIVISIÓN EN FORMA BINÓMICA

Para dividir dos complejos, se multiplican el dividendo y el divisor por el conjugado de éste; así, el divisor pasará a ser un número real.
Como en la multiplicación, representaremos los complejos por vectores, para poder comprobar los resultados en la escena.

EJEMPLO

Esta división de complejos es la que aparece en el inicio de esta escena.
Puedes cambiar los valores de a, b, c y d, o mover los puntos z1 y z2 para hallar otras divisiones.

 

 

EJERCICIO 6 

Efectúa las siguientes divisiones en tu cuaderno y compruébalas en la escena: 

a)         b)          c)          d)