NOTA 1: Si algún resultado se te sale de la escena, disminuye la escala o mueve los ejes con los botones de la parte superior. Aunque en el caso de la potencia puede ocurrir que el módulo resultante sea tan grande que no puedas llegar a verlo por completo, pero aparecerá su valor en la escena.

NOTA 2: Si en los distintos apartados salen en gris las escenas, clica aquí para instalar el plugin de Java a través de Internet.

7. Operaciones con complejos en forma polar

7.1 PRODUCTO
 
Si te fijas bien en esta escena, deducirás en seguida cómo se multiplican complejos en forma polar: Se multiplican sus módulos y se suman sus argumentos.
ra . r'b = (r. r')a+b 
Se multiplican sus módulos y se suman sus argumentos. 

 

EJERCICIO 9 

Efectúa las siguientes multiplicaciones de complejos en forma polar y compruébalas en la escena: 

1150º . 530º       315º . 275º 

z1 = 460º por su conjugado 

z2= 3150º por su opuesto

Clica aquí para ver otro applet del producto de números complejos.


7.2 POTENCIA

En la siguiente escena puedes comprobar que para elevar a n un complejo z, se eleva a n su módulo y se multiplica por n su argumento, donde r es el módulo del número complejo z, A, su argumento y n el exponente al que elevamos z.
(Recuerda que si algún resultado se te sale de la escena, puedes disminuir la escala o mover los ejes con los botones de la parte superior)
 
(ra)n = (rn)na

El módulo se eleva a n , y el argumento se multiplica por n 

Pulsa el botón Inicio; después, pulsa el botón de n, para darle distintos valores, 1, 2, 3, etc. Irás viendo las distintas potencias del número complejo  z = 1'230º , o sea, irás viendo los complejos z1, z2, z3,...  (Ve usando el botón limpiar siempre que no se vea bien la escena) EJERCICIO 10 

Efectúa las siguientes potencias de complejos en forma polar y compruébalo en la escena: 
    a)   (1.560º)4       b)  (390º)2        
    c)   (2120º)3         d)   (145º)7
(Al cambiar el módulo y el argumento respecto a los iniciales, puedes dar al botón limpiar para eliminar los valores iniciales.)

7.3 COCIENTE

En la siguiente escena puedes comprobar que para dividir dos complejos z1 y z2 , se dividen sus módulos y se restan sus argumentos.

 

Se dividen los módulos y se restan los argumentos


EJERCICIO 11 

Efectúa las siguientes divisiones de complejos en forma polar y compruébalo en la escena: 

        a)   5150º : 230º       b)  6225º : 375º 

        z1 = 4340º dividido por su conjugado 

        z1= 350º dividido por su opuesto


7.4 FÓRMULA DE de Moivre
 
Teniendo en cuenta que 1α = cos(α) + i sen(α), al aplicar a 1α la fórmula para hallar potencias de un número complejo, se obtiene la llamada fórmula de de Moivre:
 
(cos α + i sen α )n = cos nα + i sen nα

Ésta es una fórmula útil en trigonometría, pues permite hallar cos(nα)  y sen(nα) en función de sen α y  cos α. Por ejemplo, de acuerdo con la fórmula de de Moivre, tendremos (cos α + i sen α )2 = cos 2α + i sen 2α. Pero, si desarrollamos el primer miembro, obtendremos también

(cos α + i sen α)2 = cos2α+ i2 sen2α+ 2 i sen α·cos α = cos2 α +(-1) sen2α+ i·(2 sen α cos α) =
= (cos2 α- sen2 α) + i·(2 sen α ·cos α)

Por lo tanto, cos 2 α + i sen 2 α = (cos2 α - sen2 α) + i·(2 sen α cos α), y de ello resultan las fórmulas del ángulo doble

cos 2 α= cos2 α- sen2 α
sen 2 α = 2 sen α· cos α