NOTA 1: Si algún resultado se te sale de la escena, puedes disminuir la escala o mover los ejes con los botones de la parte superior.

NOTA 2: Si en los distintos apartados salen en gris las escenas, clica aquí para instalar el plugin de Java a través de Internet.


7 Radicación de números complejos

Ya sabes que la operación de radicación es la inversa que la de potenciación.

EJEMPLO 1
En la escena siguiente, te presentamos el número complejo z = 230º y su potencia cúbica z3 = (230º)3 = 890º .
Pues bien, vas a comprobar que hay más complejos que elvados al cubo dan 890º.
Para ello, haz lo siguiente (recuerda que la escena inicial muestra que (230º)3 = 890º):

  1. Introduce como argumento de z el valor A = 150º y pulsa ENTER.  Como verás, no cambia el resultado inicial 890º
    Y eso es así, porque (2150º)3 = 8450º = 890º+360º = 890º 
  2. Introduce como argumento de z el valor A = 270º y pulsa ENTER.  Como verás, no cambia el resultado inicial 890º
    Ello es así porque (2270º)3 = 8810º = 890º+2.360º = 890º 
  3. Acabas, así, de comprobar que hay como mínimo 3 números complejos, 230º , 2150, 2270º, cuyo potencia 3 vale 890º Lo cierto es que son esos 3 números complejos los únicos cuya potencia 3 vale 890º  (Si no has llimpiado la pantalla, podrás ver también que los extremos de esos vectores forman un triángulo equilátero.)

Por tanto, podremos decir que

El complejo z = 890º tiene exactamente 3 raíces cúbicas, y los afijos de éstas forman un triángulo equilátero cuyo centro es el origen de coordenadas. Las 3 raíces cúbicas tienen por módulo la raíz cúbica del módulo, y el argumento de una de esas raíces se obtiene dividiendo por 3 el argumento de z

EJEMPLO 2

  1.  Pulsa el botón inicio
  2.  Introduce r=1, A=60º, n=4 y a continuación pulsa ENTER
  3.  Pulsa el botón limpiar
  4.  Ahora tendrás que (160º)4 = 1240º
  5.  Introduce A=150º y pulsa ENTER
  6.  Ahora tendrás que (1150º)4 = 1600º = 1240º+360º = 1240º
  7.  Introduce A=240º y pulsa ENTER
  8.  Ahora tendrás que (1240º)4 = 1960º = 1240º+2*360º = 1240º
  9.  Introduce A=330º y pulsa ENTER
10. Ahora tendrás que (1330º)4 = 11320º = 1240º+3*360º = 1240º

 Por lo tanto,


De estos dos ejemplos parece deducirse que la raíz cúbica tiene tres soluciones, y la raíz cuarta, tiene cuatro. Pues bien, así sucede en realidad, y, lo que es más. sucede con cualquier raíz, de cualquier índice:

Si z es un complejo diferente de 0, entonces tiene n raíces enésimas.
Además
 - Todas las raíces enésimas tienen el mismo módulo (igual a la raíz enésima del módulo de z), y
 - el argumento de una de ellas se obtiene dividiendo por n el arg(z); los demás argumentos se van obteniendo sumando 360/n

Clica aquí para ver otro applet de raíces enésimas



8.1 RAÍZ CUADRADA

Calcularemos   fijándonos al mismo tiempo en la siguiente escena:

  1. Primero, pasamos z=4+3i a forma polar: 

z = 4+3i = 536.9º 

  1. La raíz cuadrada de z, tendrá de módulo la raíz cuadrada del módulo de z, y de argumento, el de z dividido por 2. 
                  
  2. Las dos soluciones de esta raíz cuadrada son: 
        Si k=0 --> z1=18.4º 
        Si k=1 --> z2=198.4º 

Si le sigues dando valores a k (k=2, 3, 4, ...) verás que las soluciones que salen coinciden con las ya mencionadas, después de haber dado 1, 2, 3, ... vueltas a la circunferencia. Todas estas operaciones que hemos hecho las puedes ver en la escena, y ver cómo quedan los vectores, tanto de z como de z1 y z2

EJERCICIO 12

Calcula en tu cuaderno las dos raices cuadradas de

a) z = 1-i       b) z = -9       c) z = 4i       d) z = -2+2i   

Después comprueba tus resultados en la escena.
NOTA: Después de introducir los valores de a y b, debes darle al botón limpiar. Pero, cuando cambias de k=0 a k=1 no es necesario, así verás las dos soluciones a la vez.


9.2  RAÍZ CÚBICA
 
 Calcularemos   fijándonos al mismo tiempo en la siguiente escena:
  1. Primero, pasamos z=2+4i a forma polar: 

  z = 2+4i = 4.563.4º 

  1. La raíz cúbica de z, tendrá de módulo la raíz cúbica del módulo de z y de argumento, el de z dividido por 3. 
                          
  2. Las tres soluciones de esta raíz cúbica son: 
     
    Si k=0 -> z1=1.621.1º  Si k=1 -> z2=1.6141.1º  Si k=2 -> z3=1.6261.1º

Si le sigues dando valores a k (k=2, 3, 4, ...) verás que las soluciones que salen coinciden con las ya mencionadas, después de haber dado 1, 2, 3, ... vueltas a la circunferencia. Todas estas operaciones que hemos hecho las puedes ver en la escena, y ver cómo quedan los vectores, tanto de z como de z1 , z2 y z3


EJERCICIO 13

Calcula en tu cuaderno las tres raices cúbicas de

a) z = -i       b) z = -8      c) z = 6       d) z = -2+3i   

Después comprueba tus resultados en la escena.
Nota: Después de introducir los valores de a y b, debes darle al botón limpiar. Pero cuando cambias de k=0 a k=1 y k =2 no es necesario, así verás las tres soluciones a la vez.


EJERCICIO 14

Comprueba en la escena anterior las tres raices cúbicas del complejo z = 890º que habíamos estudiado al principio de esta lección.
Ten en cuenta que en esta escena tienes que introducir el complejo en forma binómica.


9.3  RAÍZ n-ÉSIMA

En esta escena podrás calcular las n raíces n-ésimas (o sea, de índice n) de cualquier complejo z, dado en forma polar.

EJERCICIO 15 

1. Calcula en tu cuaderno: 

a)     b)     c)     d)  

Comprueba tus resultados en esta escena, y debes darlos en forma polar y en forma binómica. 

Nota: En esta escena hay que introducir los complejos en forma polar; por tanto, si nos lo dieran en forma binómica, habría que hacer previamente el cambio. 
Cada vez que introduzcas un nuevo complejo hay que limpiar la escena.


EJERCICIO 16
Comprueba en la escena anterior las cuatro raices cuartas del complejo z= 1240º que habíamos estudiado en el segundo ejemplo de esta lección.
Ten en cuenta que en esta escena tienes que introducir el complejo en forma binómica.

 
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