NOTA 1: Si algún
resultado se te sale de la escena, puedes disminuir la escala o mover los ejes
con los botones de la parte superior.
NOTA 2: Si en los distintos apartados salen en gris las escenas, clica aquí para instalar el plugin de Java a través de Internet.
7 Radicación
de números complejos
Ya sabes que la operación de radicación
es la inversa que la de potenciación.
EJEMPLO
1
En la escena siguiente, te presentamos el número complejo
z = 230º y su potencia cúbica
z3 =
(230º)3
= 890º .
Pues bien, vas a comprobar que hay más complejos que elvados al cubo
dan 890º.
Para ello, haz lo siguiente (recuerda que la escena inicial muestra que (230º)3
= 890º):
|
Por tanto, podremos decir que
|
EJEMPLO 2
1.
Pulsa
el botón inicio 2. Introduce r=1, A=60º, n=4 y a continuación pulsa ENTER 3. Pulsa el botón limpiar 4. Ahora tendrás que (160º)4 = 1240º 5. Introduce A=150º y pulsa ENTER 6. Ahora tendrás que (1150º)4 = 1600º = 1240º+360º = 1240º 7. Introduce A=240º y pulsa ENTER 8. Ahora tendrás que (1240º)4 = 1960º = 1240º+2*360º = 1240º 9. Introduce A=330º y pulsa ENTER 10. Ahora tendrás que (1330º)4 = 11320º = 1240º+3*360º = 1240º |
Por lo tanto, |
De estos dos ejemplos parece deducirse que la
raíz cúbica tiene tres
soluciones, y la raíz cuarta, tiene
cuatro. Pues bien, así sucede en realidad,
y, lo que es más. sucede con cualquier raíz, de cualquier índice:
Si z
es un complejo diferente de 0, entonces tiene n raíces enésimas.
Además - Todas las raíces enésimas tienen el mismo módulo (igual a la raíz enésima del módulo de z), y - el argumento de una de ellas se obtiene dividiendo por n el arg(z); los demás argumentos se van obteniendo sumando 360/n |
Clica aquí para ver otro applet de raíces enésimas
Calcularemos
fijándonos al mismo tiempo en la siguiente escena:
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z = 4+3i = 536.9º
Si le sigues dando valores a k (k=2, 3, 4, ...) verás que las soluciones que salen coinciden con las ya mencionadas, después de haber dado 1, 2, 3, ... vueltas a la circunferencia. Todas estas operaciones que hemos hecho las puedes ver en la escena, y ver cómo quedan los vectores, tanto de z como de z1 y z2 |
EJERCICIO 12
Calcula en tu cuaderno las dos raices cuadradas de
a) z = 1-i b) z = -9 c) z = 4i d) z = -2+2i
Después comprueba tus resultados
en la escena.
NOTA: Después
de introducir los valores de a y b, debes darle al botón limpiar.
Pero, cuando cambias de k=0 a k=1 no es necesario, así verás las
dos soluciones a la vez.
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z = 2+4i = 4.563.4º
Si le sigues dando valores a k (k=2, 3, 4, ...) verás que las soluciones que salen coinciden con las ya mencionadas, después de haber dado 1, 2, 3, ... vueltas a la circunferencia. Todas estas operaciones que hemos hecho las puedes ver en la escena, y ver cómo quedan los vectores, tanto de z como de z1 , z2 y z3 |
EJERCICIO 13
Calcula en tu cuaderno las tres raices cúbicas
de
a) z = -i b) z = -8 c) z = 6 d) z = -2+3i
Después comprueba tus resultados
en la escena.
Nota: Después de
introducir los valores de a y b, debes darle al botón limpiar.
Pero cuando cambias de k=0 a k=1 y k =2 no es necesario, así verás
las tres soluciones a la vez.
En esta escena podrás calcular las n raíces n-ésimas (o sea, de índice n) de cualquier complejo z, dado en forma polar.
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EJERCICIO
15
1. Calcula en tu cuaderno: a) Comprueba tus resultados en esta escena, y debes darlos en forma polar y en forma binómica. Nota: En esta escena
hay que introducir los complejos en forma polar; por tanto, si nos lo
dieran en forma binómica, habría que hacer previamente
el cambio.
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