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Algunas propiedades fundamentales

En los límites que aparecen en las propiedades siguientes, puede suponerse indistintamente que x® a, x® a-, x® a+, x® ¥. (Eso sí, en todos los límites de un enunciado debe suponerse la misma tendencia de x.)

1.  En caso de existir Lim f(x) y Lim g(x),  "si se cumple f(x) £ g(x) para todo x de un entorno de a, entonces Lim f(x) £ Lim g(x)"

 

Aún más:

Si en un entorno de a se cumplen y , entonces también tiene el mismo límite (teorema de la función cercada)

2.  Si Lim f(x) > 0, entonces hay algún entorno de a en el cual f(x) es positivo para cada x ¹ a

 

3. Si existen Lim f(x) = L, y Lim g(x) = M, entonces

  1.    
  2.    
  3.    
  4.    
  5.    

Ejemplos

  1. Si Lim f(x) = 3 y Lim g(x) = -5, entonces, sean cuales sean las expresiones de f(x) y g(x), se obtendrá que

4. Si en la propiedad 3, las letras L o M representan un infinito, entonces al usar las reglas a, b, c, d, e, hay que tener en cuenta estas igualdades:

Reglas de cálculo con infinitos (L real)

4.1      

 

4.2 Las siguientes expresiones dependen de las funciones f(x), g(x) que las originan; por eso, se llaman indeterminaciones, y las indicamos con interrogante.

(Mira en el ejemplo adjunto el porqué de algunas)

 

 

 

 

Ejemplos

  1. Si Lim f(x) = 3 y Lim g(x) = + ¥, entonces, sean cuales sean las expresiones de f y g, se cumplirán

Ejemplo sobre la indeterminación 0· ¥

Imaginemos que x® 2. Pongamos

Es obvio que

Sin embargo

Ejercicios propuestos: 6, 7, 11 de la página190.