Estudiaremos únicamente las posiciones relativas a partir de las ecuaciones generales (o implícitas)

Posiciones de dos planos:   

Para el sistema formado por ambas ecuaciones, , caben las siguientes posibilidades:

1. . Entonces los planos coinciden   (fig. 1)
2. . Entonces son planos paralelos,   y distintos  (fig. 2)
    
3. En cualquier otro caso, el rango del sistema es 2,  y entonces los planos definen una recta (fig. 3)

 Posiciones de dos rectas:  

Llamaremos A a la matriz del sistema formado por esas cuatro ecuaciones, y A’ a la ampliada.

Éstas son las posibilidades:

1. rang(A) = 2, rang(A’)=2. Entonces, son dos rectas coincidentes.
2. rang(A) = 2, rang(A’)=3. Entonces, son dos rectas paralelas, distintas.
3. rang(A) = 3, rang(A’)=3. Entonces, son dos rectas secantes; su punto de corte es la solución del sistema.
   
   
4. rang(A’)=4, es decir, Det(A’) ¹ 0.  Entonces, se dice que las rectas se cruzan.
                         

Dos rectas que se cruzan siempre podrán situarse en dos planos paralelos. Además, éste es el único caso en el que no existe un plano que contenga las dos rectas (rectas no coplanarias)

Posiciones de recta y plano: 

Llamaremos A a la matriz del sistema formado por esas tres ecuaciones, y A’ a la ampliada.

Éstas son las posibilidades:

1. rang(A) = 2, rang(A’)=2. Entonces, la recta está contenida en el plano (fig. 1).  
    
2. rang(A) = 2, rang(A’)=3. Entonces, la recta es paralela al plano, y no  contenida en él (fig. 2).
    
3. rang(A) = 3, rang(A’)=3. Entonces, se dice que la recta es secante al plano.
   El punto de corte es la solución del sistema (fig. 3)

Es importante darse cuenta de que el paralelismo de recta y plano se da exactamente cuando Det(A) = 0.

Posiciones de 3 planos: 

Llamaremos A a la matriz del sistema formado por esas tres ecuaciones, y A’ a la ampliada.

Éstas son las posibilidades:

1. rang(A) = 1, rang(A’)=1. Entonces, los 3 planos coinciden.
2. rang(A) = 1, rang(A’)=2. Entonces, son 3 planos paralelos (Dos de ellos pueden coincidir.)
3. rang(A) = 2, rang(A’)=2. Entonces, los 3 planos contienen una misma recta (planos de un haz)
4. rang(A) = 2, rang(A’)=3. Entonces, hay dos posibilidades:

a) Hay 2 planos paralelos, y el otro los corta      b) Los tres son caras de un prisma triangular

5. rang(A) = 3, rang(A’)=3. Entonces, los planos tienen exact.un punto común (caras de triedro)