EL LLENGUATGE DELS SUMATORIS
El símbol å, anomenat sumatori i que correspon a la lletra grega sigma majúscula, s'utilitza per expressar en forma breu sumes amb molts termes.1.- EXEMPLES
2.- TRES OBSERVACIONS SOBRE ELS SUMATORIS
3.- EXERCICIS AMB SUMATORIS
4.- CÀLCUL DE SUMATORIS UTILITZANT LA CALCULADORA WIRIS
1) La suma dels primers 100 nombres naturals s'expressa utilitzant un sumatori
i es llegeix "suma de i des de i=1 fins a i=100"
2) La suma dels primers 25 nombres naturals parells es pot expressar
i es llegeix "suma de 2i des de i=1 fins a i=25"
3) La suma dels múltiples de 5 compresos entre 5 i 900 es pot expressar
i es llegeix "suma de 5i des de i=1 fins a i=180". Per què "fins a i=180"?
4) La suma dels quadrats dels primers 36 nombres naturals es pot expressar
i es llegeix "suma de i² des de i=1 fins a i=36". Per què els últims termes de la suma són 1225 i 1296?
5) La suma dels 25 primers nombres naturals imparells es pot expressar
Com es llegeix?
6) Un sumatori es pot desenvolupar i obtenir l'expressió com a suma de termes
7) Alguns termes d'un sumatori poden ser negatius, per exemple
8) O tots negatius, com per exemple
9) O alternadament positius i negatius
10) Els termes també poden ser fraccions, per exemple
Quins seran els termes penúltim i antepenúltim del desenvolupament del sumatori anterior?
11) Els termes també poden ser irracionals, per exemple
12) La mitjana aritmètica de N valors X1, X2, X3, ..., XN, es pot expressar
13) Un polinomi de grau n, amb la indeterminada X i amb coeficients a0, a1, a2, ... , an es pot expressar
2.- TRES OBSERVACIONS SOBRE ELS SUMATORIS
OBSERVACIÓ 1
En els exemples anteriors la lletra i s'anomena índex del sumatori. És important saber que es pot utilitzar qualsevol lletra com a índex. Així alguns dels sumatoris anteriors també s'haurien pogut escriure
Les lletres més utilitzades com a índexs als sumatoris són i, j, k, n,...; són lletres que normalment s'utilitzen per indicar nombres naturals. En canvi, no s'acostuma utilitzar lletres, com x, y, z, que normalment s'utilitzen per indicar nombres reals.
OBSERVACIÓ 2
En els exemples anteriors, el primer valor que pren l'índex ha sigut sempre 1 (0 en l'exemple 13, cas dels polinomis). No té per que ser sempre així; poden donar-se sumatoris de la forma
Els valors extrems dels índexs s’anomenen extrems o límits del sumatori.
OBSERVACIÓ 3
Us trobareu sumatoris escrits sense tants detalls, per exemple:
a) per indicar l'extrem superior de l'índex i, no es posa i=100 (o el valor que sigui), només es posa un 100:
b) en ocasions ni s'expressen els extrems inferior i superior de índex (per ser coneguts, suposadament coneguts, per mandra, ...); així una expressió com:
voldrà dir "sumar tots els ai", siguin els que siguin i valguin el que valguin.
c) finalment, quan és evident l'índex respecte del que es fa la suma, pot ser que no es posi aquest índex al sumatori:
Exercici 1
Desenvolupeu i calculeu els sumatoris:
Exercici 2
Desenvolupeu els següents sumatoris posant els tres primers termes, punts suspensius i els tres últims termes. Per exemple:
Exercici 3
Trobes alguna cosa estranya en els sumatoris següents?
Exercici 4
Poseu en forma de sumatori les següents sumes:
WIRIS té tres formes possibles de calcular sumatoris: la instrucció sigma i els dos botons
i
de la pestanya Operacions. Explicarem com funcionen amb exemples. Seguidament tens una graella on hi ha sumatoris, obtindràs les tres formes de calcular-los amb la WIRIS clicant sobre els botons
:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
El límit inferior dels sumatoris de la graella anterior sempre és 1, però també amb la calculadora WIRIS es poden calcular sumatoris amb límit inferior diferent de 1. Per exemple:
|
|
|
|
|
|
Exercici 5
Planteja i calcula amb la WIRIS tots el sumatoris de l’exercici 2.
Exercici 6
Intenta calcular amb la WIRIS els sumatoris de l’exercici 3 i observa els missatges d’error que surten.
