Sobre los principios fundamentales de la Geometría
Comentarios sobre los Elementos

Dr. D. Luis Javier Hernández Paricio
Catedrático de Geometría y Topología
Departamento de Matemáticas y Computación
luis-javier.hernandez@dmc.unirioja.es


             Se llamaban "elementos" las proposiciones que desempeñaban un cometido capital en la organización deductiva de otros resultados. De este modo, los "Elementos", con mayúscula, venían a ser un tratado donde se exponían con más o menos acierto los "elementos" de algún campo científico. También se distinguía entre una significación más amplia en la que todo lo que sirve para establecer un resultado es uno de sus elementos y, otra significación más restringida, en la que se denomina "elementos" a un grupo selecto de asunciones y proposiciones: Las que tienen el estatuto de principios dentro de una disciplina y son la base de partida sobre la que se teje la trama deductiva de las demás proposiciones y el cuerpo de sus conocimientos.

             En una descripción somera de los "Elementos" se puede empezar diciendo que este tratado se compone de trece libros que contienen 465 proposiciones que, contrariamente a la impresión popular, además de geometría tratan de aritmética y álgebra geométrica griega. Más concretamente tenemos que:

             Los cuatro primeros Libros desarrollan la teoría elemental de la geometría plana.

             Los Libros V y VI contienen la teoría generalizada de la proporción.

             La Teoría de la Aritmética corresponde a los Libros VII, VIII y IX.

             El Libro X, denominado por algunos como "La cruz de los matemáticos", se dedica al estudio de segmentos rectilíneos que son inconmensurables respecto a un segmento rectilíneo dado; esto es, al estudio de los irracionales.

             Los últimos Libros (XI, XII y XIII) se dedican a la Geometría del espacio.

             El Libro I de los Elementos empieza con 23 definiciones que introducen términos tales como punto, línea, línea recta, superficie, superficie plana, ángulo, ángulo recto, ángulo obtuso, ángulo agudo, círculo y circunferencia, centro, diámetro, semicírculo, triláteros, cuadriláteros y multiláteros.

              Entre los triláteros, introduce el triángulo equilátero, el isósceles y el escaleno. De entre las figuras cuadriláteras, define cuadrado como la que es equilátera y rectangular, rectángulo la que es rectangular pero no equilátera, rombo la que es equilátera pero no rectangular, romboide la que tiene lados y ángulos opuestos iguales entre sí, pero no es equilátera ni rectangular; y llama trapecios a las demás figuras cuadriláteras.

             La definición 23 dice que "Son rectas paralelas las que estando en el mismo plano siendo prolongadas indefinidamente en ambos sentidos, no se encuentran una a la otra en ninguno de ellos."

             Tras las definiciones y pese a su simpleza gramatical viene uno de los textos científicos más notables que jamás se haya escrito, se trata de los Postulados y Nociones Comunes, que expondremos a continuación siguiendo una traducción literal de la versión de Heiberg y Menge.

      POSTULADOS

1. Postúlese el trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera.
2. Y el prolongar continuamente una recta finita en línea recta.
3. Y el describir un círculo con cualquier centro y distancia.
4. Y el ser todos los ángulos rectos iguales entre sí.
5. Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace que los ángulos internos del mismo lado (sean) menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los (ángulos) menores que dos rectos.


      NOCIONES COMUNES

1. Las cosas iguales a una misma cosa son también iguales entre sí.
2. Y si se añaden cosas iguales a cosas iguales, los totales son iguales.
3. Y si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales.
4. Y las cosas que pueden superponerse entre sí son iguales entre sí.
5. Y el todo es mayor que la parte.

             El método utilizado por Euclides se basa en la utilización de cadenas deductivas que obtienen nuevos elementos a partir de otros anteriores. Puesto que no se puede retroceder infinitamente en la búsqueda de elementos anteriores, en un momento determinado hay que establecer unos que serán los principios fundamentales de la teoría y que en Los Elementos de Euclides se denominaron: Postulados y Nociones Comunes. Los primeros son propios del campo científico considerado y los segundos, también llamados axiomas, son comunes para todas las ciencias.

             Las nociones comunes y los postulados fueron ampliamente criticados y completados por comentadores y copistas. En los diferentes manuscritos y versiones impresas aparecen en formas diferentes. Por ejemplo, en la primera versión impresa en ingles por J. Willianson, el que hemos denominado quinto postulado aparece entre las nociones comunes como la número once y es bien conocido que János Bolyai se refiere al quinto postulado como el Axioma XI de Euclides.

             Poco a poco se fueron descubriendo las lagunas del sistema de postulados y axiomas de Euclides; señalemos por ejemplo: La sobrecarga lógica de las definiciones, la falta de recursos para realizar las superposiciones y la ausencia de criterios para asegurar la existencia de intersecciones en ciertas figuras formadas por rectas y circunferencias.

             Habría que esperar hasta finales del siglo XIX para que en los trabajos de Pasch (Vorlesungen über nuere Geometrie, 1882), Peano (I principii di geometria, logicamente esposti, 1889) y Pieri (Della geometria elementare come sistema ipotetico deduttivo, 1899) se desarrollara una axiomatización de la geometría más acorde con la exigencia creciente del rigor matemático. No obstante, el sistema axiomático más difundido y aceptado es el que Hilbert [13] publicó en el año 1899 en su obra "Fundamentos de la Geometría". El tratamiento axiomático de la Geometría en nuestra época necesita de tres objetos primitivos, que no necesitan ser definidos: punto, recta y plano. Y para expresar las relaciones tres palabras primitivas: pertenece, entre y congruente. El sistema axiomático de Hilbert completado y perfeccionado se suele presentar en cinco grupos de axiomas: (a) ocho axiomas de enlace o pertenencia; (b) cuatro axiomas de orden; (c) cinco axiomas de congruencia; (d) axioma de paralelismo; (e) dos axiomas de continuidad, el de Arquímedes y el de completitud lineal.

             El sistema actual no diferencia entre nociones comunes y postulados y no incluye definiciones. Es interesante observar que este sistema axiomático contiene al llamado axioma del paralelismo o axioma de las paralelas. El axioma de las paralelas, que fue popularizado por John Playfair (1748-1819), es equivalente al quinto postulado y su enunciado es el siguiente:

             Axioma de las paralelas. Por un punto dado que no esté en una recta dada sólo se puede trazar una única línea recta paralela.

             Señalaremos que sin cambiar los objetos y palabras primitivos es posible encontrar otros grupos de axiomas básicos a partir de los cuales de pueden encontrar los mismos teoremas y proposiciones. Notemos que en la misma teoría un axioma se puede considerar una proposición con respecto a otro grupo distinto de axiomas.

             También se pueden cambiar los objetos y palabras primitivos y elaborar teorías diferentes. En el caso en el que las teorías sean equivalentes se pueden encontrar descripciones de los objetos y palabras primitivos de una teoría en función de la otra.

             Volviendo a Los Elementos de Euclides, se observa que una vez concluida la redacción de los postulados y nociones comunes, sin más preámbulos vienen las 48 proposiciones del Libro I. Una proposición prueba que se verifica una determinada propiedad o que se puede realizar cierta construcción utilizando únicamente los postulados, nociones comunes y proposiciones anteriores.

             Para satisfacer nuestra curiosidad y para ver cómo se utiliza el modo deductivo, tomemos la primera proposición:

             Proposición 1. Construir un triángulo equilátero sobre una recta finita dada.

             Sea AB la recta finita dada.

             Así pues, hay que construir sobre la recta dada un triángulo equilátero. Descríbase con el centro A y la distancia AB el círculo B Gamma Delta [Post. 3], y con el centro B y la distancia BA descríbase a su vez el círculo AGamma E [Post. 3], y a partir del punto Gamma donde los círculos se cortan entre sí, trácense las rectas Gamma A , Gamma B hasta los puntos A , B [Post. 1].


imagenmat1

            Y puesto que el punto A es el centro del círculo Gamma B, A Gamma es igual a AB [Def. 15]; puesto que B es a su vez el centro del círculo Gamma A E, B Gamma es igual a BA [Def. 15]; pero se ha demostrado que Gamma A es igual a AB; por tanto, cada una de las (rectas) Gamma A, Gamma B es igual a AB. Ahora las cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí [N.C. 1]; por tanto, Gamma A, AB, B Gamma son iguales entre sí.

             Por consiguiente, el triángulo AB Gamma es equilátero y ha sido construido sobre una recta finita dada AB. Que es lo que había que hacer.

             Señalaremos que las proposiciones de los Elementos suelen discurrir por los siguientes pasos canónicos: Enunciado; exposición, en la que se utilizan letras para designar los puntos, las rectas y los datos dados; determinación, en la que se recuerda lo que hay que hacer o lo que hay que probar; demostración propiamente dicha y conclusión. No siempre siguen esta pauta pero lo que nunca falta es la proposición o enunciado, la demostración y la conclusión.

             En la demostración anterior se hace uso de las definiciones, postulados y nociones comunes anteriores como se indica en los corchetes. Naturalmente, al tratarse de la primera proposición no se hace uso de otras proposiciones anteriores.

       Citemos también como ejemplo la siguiente propiedad:

      Proposición 5. En los triángulos isósceles los ángulos de la base son iguales entre sí, y prolongadas las dos rectas iguales, los ángulos situados bajos la base serán iguales entre sí.

       Una diferencia entre las dos proposiciones citadas es que en la primera se trata de resolver el problema de cómo hay que realizar una construcción, en la siguiente, se trata de describir una propiedad de una figura dada. El primer tipo de proposiciones se llamaban problemas, y las del segundo tipo, teoremas.

       El nombre popular de este último teorema es el de "pons asinorum"; es decir, el puente de los asnos. Probablemente provenga de la apariencia de puente que tiene la figura de la demostración de Euclides, por cierto bastante complicada, y de la idea de que cualquiera que no lo cruce ha de ser un borrico. Afortunadamente, Pappo de Alejandría dio hacia el 340 d. C. una demostración más sencilla.

       Con permiso de los asnos, mencionaremos otra anécdota que relaciona a éstos con el contenido de la siguiente:

      Proposición 20. En todo triángulo dos lados tomados juntos de cualquier manera son mayores que el restante.

       Proclo dice que los epicúreos acostumbraban a ridiculizar este teorema porque "era evidente incluso para un asno y no requería prueba". La afirmación de que el teorema era comprensible incluso para un asno, se basaba en que si se colocaba forraje en un vértice y el asno en el otro, el hambriento animal no iría en busca de su pitanza a través de dos lados de un triángulo, sino sencillamente a través de aquél que le separaba de la comida. También se dice que al escuchar esta historia, Saville exclamó que los autores de estos argumentos eran dignos de compartir el heno con el asno.

       El mismo Proclo replica estos comentarios aclarando que la percepción de la verdad de un teorema es algo diferente de la prueba científica del mismo. No obstante, los epicúreos no andaban muy desencaminados; esta propiedad actualmente se denomina como la desigualdad triangular y es tomada como un axioma en la teoría de espacios métricos que tiene una gran repercusión en la matemática actual. Éste es un ejemplo más de una afirmación que en una teoría matemática es una proposición y sin embargo en otra es simplemente un axioma.

       Una proposición particularmente importante es la Proposición 29, pues es en esta proposición en la que por primera vez se utiliza el quinto postulado de Euclides. Ello significa que cualquier geometría que verifique los cuatro primeros postulados junto con las nociones comunes satisface las primeras 28 proposiciones de Euclides. Por lo tanto los criterios que determinan la congruencia de triángulos, la existencia de perpendiculares y de bisectrices de ángulos y puntos medios de segmentos son también válidos en las geometrías que no asuman el quinto postulado. Esta proposición tiene el enunciado siguiente:

      Proposición 29. La recta que incide sobre rectas paralelas hace los ángulos alternos iguales entre sí, y el (ángulo) externo igual al interno y opuesto, y los (ángulos) internos del mismo lado iguales a dos rectos.

       La familia de proposiciones que se pueden probar sin utilizar el quinto postulado se suele denominar actualmente como geometría absoluta. En los Elementos de Euclides, además de las primeras 28 proposiciones, existen otros resultados que forman parte de la geometría absoluta, para ello bastaría extractar aquellas proposiciones que no utilizan el quinto postulado en ningún punto de la correspondiente cadena deductiva.

       De gran interés en esta historia de los fundamentos de la geometría es la proposición siguiente que no utiliza el quinto postulado.

      Proposición 31. Por un punto dado trazar una línea recta paralela a una recta dada.

       Nótense los dos matices en los que difieren la proposición 31 y el axioma de las paralelas: el primero es que en el axioma de las paralelas se exige que el punto no esté en la recta dada y el segundo matiz consiste en que además de la existencia se requiere la unicidad de la paralela trazada. Recordemos que el quinto postulado es equivalente al axioma de las paralelas; sin embargo la proposición anterior no necesita del quinto postulado para su demostración. Debido a la equivalencia del quinto postulado y el axioma de las paralelas, y a la influencia de los trabajos de Playfair, en muchos libros de texto de geometría el quinto postulado de Euclides se sustituyó por el axioma de las paralelas.

       Destacaremos a continuación resultados de los Elementos que sí utilizan el quinto postulado con el objetivo de una posterior comparación con los resultados análogos de otras geometrías que no lo utilizan:

      Proposición 32. En todo triángulo, si se prolonga uno de los lados, el ángulo externo es igual a los dos ángulos internos y opuestos, y los tres ángulos internos del triángulo son iguales a dos rectos.

       La demostración de esta proposición utiliza la proposición 29 que a su vez utiliza el postulado quinto.

       La siguiente nos da el área de un triángulo:

      Proposición 41. Si un paralelogramo tiene la misma base que un triángulo y está entre las mismas paralelas, el paralelogramo es el doble del triángulo.

       La penúltima proposición del Libro I contiene el célebre teorema de Pitágoras y la última es precisamente su recíproco.

      Proposición 47. En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto.

       Un comentario de Proclo dice que

      "Si escuchamos a quienes gustan de narrar cosas antiguas, hallaremos que atribuyen este teorema a Pitágoras y dicen que sacrificó un buey por su descubrimiento. Por mi parte, aunque admiro a los que conocieron primero este teorema, más me maravilla el autor de los Elementos, no sólo por establecerlo mediante una clara demostración, sino por haber sentado en el libro sexto (VI, 31) una proposición aún más general con las pruebas incontestables de la ciencia..."

       No obstante, aclararemos que se conoce un uso más antiguo de triángulos pitagóricos por culturas como la antigua egipcia, la babilonia, la india y la china.

       Finalizamos estos comentarios del primer libro de Euclides con algunas observaciones: La primera es la redacción compleja e intrincada del quinto postulado de Euclides que le da un carácter un poco distinto de los demás que aparecen más simples y en los que su sencillez hace que su carácter de principio fundamental sea fácilmente aceptado. En segundo lugar, los Elementos de Euclides contienen un subconjunto de proposiciones que no requieren del quinto postulado, es decir que no se alude a éste en la cadena deductiva de su demostración. Esta geometría que no depende del quinto postulado se llama geometría absoluta. Señalemos también que los Elementos contienen importantes proposiciones que sí que dependen del quinto postulado.

       Parece ser que el mismo Euclides no estaba de si su quinto postulado era o no demostrable a partir de los demás, ya que pospuso su utilización todo lo posible. Así que podemos iniciar con el mismo Euclides una historia que iba a durar mas de dos mil años y cuyo objetivo consistía en probar que el quinto postulado no era un principio fundamental de la geometría sino un teorema de la geometría absoluta. De los muchísimos intentos de demostración del quinto postulado vamos a seleccionar algunos de ellos, realizados a lo largo de más de dos mil años.

(Este artículo es parte de un amplio estudio que se puede consultar en su totalidad en la dirección abajo citada)

Referencias
      
[1] R. Bonola,"Non-euclidean Geometry", Dover Publications, Inc., New York, 1955.

 [2] W. Bolyai (con apéndice de J. Bolyai), "Tentamen Juventutem Studiosam in Elementa Matheseos", 1832. (Ensayos sobre elementos de matemáticas para jóvenes estudiosos).

 [3] R. Cámara Angulo,"Libros de Matemáticas y Astronomía en la Biblioteca del Monasterio de Yuso de San Millan de la Cogolla "

 [4] J.L. Coolidge, "A history of Geometrical methods", First edition 1940, University Press, Oxford, 1947.

 [5]  H.S. M. Coxeter,"Fundamentos de Geometría ", De Limusa-Wiley, Mexico, 1971.

 [6] A. Dou,"Orígenes de la Geometría no euclídea", Historia de la matemática en el siglo XIX, Real Academía de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, Madrid 43-65, (1992).

 [7] Euclides,"Elementos, Libros I-IV, V-IX,X-XII ", Introducción de Luis Vega. Traducción de María Luisa Puertas Castaños. Editorial Gredos, Biblioteca Clásica Gredos, vol. 191 (1991), 155 (1994) y 228 (1996).

 [8] H. Eves,"Estudio de las Geometrías" Tomos I y II, UTEHA, Mejico, 1969.

 [9] I. Kant,"Crítica de la razón pura". (Prólogo, Traducción, Notas e Índices de  Pedro Ribas), Alfaguaras, Madrid, 1988.

 [10] F. Kárteszi y B. Szénássy,"Janos Bolyai, Appendix the theory of Space",  Akadémiai Kiadó, Budapest, 1987.

 [11] M.J. Greenberg,"Euclidean and non-euclidean geometries", Freeman, San Francisco, 1980.

 [12] J.L. Heiberg y H. Menge,"Euclidis opera omnia", Leipzip, 1883-1916, vols. VI-VIII.

 [13] D. Hilbert,"Grundlagen der Geometrie" (1899)."Foundations of Geometry", 2nd English de, Open Court, La Salle, 1971.

 [14] T. S. Herth,"The Thirteen Book of Euclid´s Elementes", Cambridge, (1909,  edición revisada 1926), Nueva York (1956).

 [15] A.M. Legendre,"Réflexions sur differéntes manières de démostrer la théorie des paralléles ou le théorème sur la somme des trois angles du triangle", Mém. Ac. Sc. Paris, T. XIII, 1833.

 [16]  N.I. Lobachesvki,"Sobre los principios de la geometría", Kasan Bulletin, (1829-1830). Trabajos geométricos de Lobachesvki (primera parte obras publicadas en ruso,  segunda parte, obras publicadas en frances y alemán). Kazán (1883-1886), Vol. I, p. I-67.

 [17]  N.I. Lobachesvki,"Geometría imaginaria", Publicaciones científicas de la  Universidad de Kazán (1835-38). Obras geométricas, Vol. I, 71-120.

 [18] N.I. Lobachesvki,"Aplicaciones de la geometría imaginaria a algunas integrales", Publicaciones científicas de la Universidad de Kazán (1835-38). Obras geométricas, Vol. I, 121-218.

[19] N.I. Lobachesvki,"Nuevos principios de la geometría, con una teoría completa de las paralelas", Publicaciones científicas de la Universidad de Kazán (1835-38). Obras geométricas, Vol. I, 219-486.

 [20]  N.I. Lobachesvki,"Géométrie Imaginaire", Crelle ´s Journal, Bd. XVII, 295-320.

 [21] N.I. Lobachesvki,"Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien", Berlin, (1840). Publicaciones científicas de la Universidad de Kazán (1840). Obras geométricas, Vol. II, 553-558.

 [22]  N.I. Lobachesvki,"Pangeometría donde se precisa la geometría fundada sobre la teoría general y rigurosa de las paralelas", Colleción de Memorias de Profesores de la Universidad de Kazán en el cincuenta aniversario de su fundación, Vol. I, (1855) 279-340.

 [23] A. Logunov and M. Mestvirishvili, ìThe Relativistic Theory of Gravitation", Mir Publisers Moscow, 1989.

 [24] J.M. Montesinos:"Las geometrías no euclídeas: Gauss, Lobatcheswsky y Bolyai ", Historia de la matemática en el siglo XIX, Real Academía de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, Madrid 65-105 (1992).

 [25] G.E. Martin,"The foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane", Springer, UTM, 1998.

 [26] K. Ríbnikov,"Historia de las Matemáticas", Editorial Mir, Moscú, 1987.

 [27] A.S. Smogorzhevski,"Acerca de la Geometría de Lobachevski", Lecciones populares de matemáticas, Editorial MIR, Moscú, 1978.

La conferència inagural del curs 2000/2001de la Universitat de la Rioja es pot consultar íntegrament a http://www.unirioja.es/Prensa/Noticias/apertura_leccion.html

Dr. D. Luis Javier Hernández Paricio
Catedrático de Geometría y Topología
Departamento de Matemáticas y Computación
luis-javier.hernandez@dmc.unirioja.es




Domenech Larraz email © Copyright 2002 / 2003 Jaume Domenech Larraz email © Copyright 2002 / 2003 Jaume
Web allotjada al servidor de http://www.xtec.es/~jdomen28 de Xtec / Pie i email del servidor