Encontrando espacio
en el currículo para la Geometría actual

Joseph Malkevitch
Department of Mathematics/Computing York College (CUNY)
Email:
joeyc@cunyvm.cuny.edu
Pàgina personal
Traducción: Hernández,Víctor y Villalba, Martha
PMME-UNISON. Febrero. 2001.

¡De vivir ahora, Euclides estaría muy emocionado! Estaría atónito y complacido de ver cómo ha prosperado la materia en la que el se esforzó por desarrollar y codificar. Probablemente estaría desilusionado por no haber descubierto resultados geométricos maravillosos como la teoría de grafos y la fórmula para los poliedros de Euler. Sin embargo, a la luz de toda la geometría desarrollada después de él, podría estar sorprendido por el dominio tan extenso que ejerció y aún ejerce en el currículo de geometría, el trabajo que él hizo hace aproximadamente 2500 años.

La geometría, como el resto de las matemáticas y el conocimiento en general, ha crecido tremendamente en los últimos 100 años. No obstante que la mayoría de los desarrollos en el conocimiento matemático tiene pocas implicaciones para el currículo escolar preuniversitario (otras aparte de las nuevas aplicaciones que para el beneficio de la sociedad hacen posible las nuevas matemáticas), esto no es verdad para la geometría. Por la propia naturaleza de la geometría, ha jugado un rol único en las matemáticas de los primeros grados. Esto es precisamente porque la geometría es menos jerárquica y sujeta a los símbolos que otras partes de las matemáticas. Una parte sorprendentemente grande del trabajo reciente en geometría se enfrenta al test de Hilbert sobre lo que es un buen problema matemático: este puede ser explicado a la primera persona que pase caminando por la calle. Aquí están dos ejemplos.

1.El problema del Museo de Arte

Dado un polígono simple plano P, en el que usted puede pensar como el piso plano de un museo, determine el número mínimo de guardias (puntos para dispositivos de inspección) necesarios para ver la región entera del polígono. Un guardia G puede ver cualquier punto B de la región entre una línea recta l desde G hasta B, asumiendo que l no contiene puntos fuera de P.

Figura 1.a

¿Cuál es el mínimo número de guardias necesario para ver el museo entero?

Figura 1.b

La porción sombreada del museo es visible por el guardia G.

2.El problema de las entregas

La Figura 2 muestra la porción de una ciudad en la que un muchacho o muchacha deben entregar volantes en las casas localizados a lo largo de las secciones de calles marcadas con estrellas (esto es: TTTTT) en la figura. El muchacho o la muchacha deben empezar en su casa, indicada por la H en el mapa, donde los volantes fueron dejados por el distribuidor. Después de entregar los volantesen las secciones requeridas de la ciudad, el entregador debe regresar a su casa. Si todas las manzanas tienen la misma longitud, ¿Cuál es la ruta más corta posible?

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H

Figura 2 Encuentre la ruta más corta empezando y terminando en H visitando todas las banquetas señaladas

Aún cuando ambos de estos problemas conducen a teorías muy ricas para los matemáticos, pueden ser resueltos por ensayo y error por cualquiera que se interese a trabajar en sus proposiciones en casos específicos como aquellos mostrados en nuestros ejemplos previos. Además, aún cuando estos problemas pudieran haber sido establecidos sin relación alguna a un contexto de aplicación, han sido parafraseados a propósito de una manera que sugiera aplicaciones al mundo real. Por ejemplo, el segundo problema tiene aplicaciones significativas al trabajo de investigación relacionado con la entrega de correo, colección de basura y la remoción de nieve de los caminos.

Estos dos ejemplos pueden parecer diferentes de aquellos que lo que la gente piensa que es la geometría. La geometría de Euclides, una notable realización con implicaciones tanto teóricas como prácticas, es vista usualmente de una manera deductiva. Ésta fue casi seguramente un intento de describir matemáticamente el mundo físico del área y el perímetro de campos rectangulares y órbitas circulares tanto como los problemas relacionados al "espacio" en un sentido local y global. ¡El encanto de los Elementos de Euclides como un sistema desarrollado lógicamente y el éxito de la geometría Euclidiana en astronomía, geografía, oficios (carpintería, venta de maquinaria, etc.) y la vida diaria han guiado hacia la edición de esta obra en más ejemplares que cualquier otra a excepción de la Biblia!

La invención de las geometrías no-Euclidianas y la importancia del postulado de las paralelas han sido hechos notar en la Sección I, 4.

Sin embargo, en la actualidad, casi ningún geómetra moderno está interesado profesionalmente ni en el desarrollo axiomático de la geometría ni en nuevos teoremas acerca de los variados puntos exóticos en los círculos, triángulos y cuadriláteros. Aunque el legado de la geometría del siglo XIX ha sido el que estas cuestiones invadan tanto la geometría como su enseñanza en nuestras escuelas. Sin embargo, ha ocurrido una transformación dramática en la definición operativa de la geometría. Para la mayoría de los geómetras practicantes la geometría se ha transformado en el estudio de aquellos insight que conducen en la formación matemática cuando uno estudia fenómenos visuales. Esto es, un geómetra moderno estudiará nudos, cubiertas, cómo aclarar una fotografía borrosa, etc. El rango de lo que puede ser estudiado es tan variado como aquello que ofrece el mundo visual.

La sorpresa inesperada es que la geometría, en el amplio sentido mencionado arriba, ha conducido a un rico y amplio rango de aplicaciones en la frontera de la tecnología moderna. Posiblemente no es sorprendente el que la geometría haya aparecido en muchas aplicaciones en gráficas por computadora, en imágenes médicas y procesamiento de imágenes pero lo que es tal vez más sorprendente es que el trabajo dramático en tecnología de comunicaciones y robótica se ha delineado sobre el trabajo reciente en geometría.

Dos ejemplos servirán como ilustraciones: el uso del pensamiento geométrico que puede diseñar códigos y puede ser usado para comprimir datos. Estos datos pueden tener la forma de textos, fotografías, televisión o sonido. Así, la tecnología del fax ha sido posible no solamente por los nuevos hallazgos en ingeniería, sino por los códigos que son usados en formas comunes como parte de la tecnología de fax. Similarmente se pueden diseñar códigos y se pueden detectar y/o corregir errores usando ideas geométricas. Innumerables negocios novedosos y aplicaciones comerciales han sido encontrados para tales códigos. Los ejemplos incluyen el envío de rayos X entre hospitales a través, simplemente, de levantar el teléfono, mejor rastreo de equipaje desde una ciudad hasta su destino (usando tecnología de código de barras), recuperar fotografías desde enviadas desde estaciones espaciales a otros planetas, almacenaje de sonido en discos compactos, etc.

Estos nuevos desarrollos ponen en un aprieto a los profesores de geometría. Siempre que emergen nuevas ideas que argumentablemente merecen una parte en el currículo se debe tomar una decisión concerniente a qué hacer. Esta decisión podría asumir una de las siguientes tres formas:

1.Pensar que el nuevo material pudiera ser añadido al currículo, una decisión es no hacerlo.

2.El nuevo material es agregado acortando el tiempo dedicado al currículo existente.

3.Partes del currículo existente son removidas a fin de desarrollar nuevas ideas.

Yo recomiendo que el tercer acercamiento debe ser adoptado. Aquí están las razones. Hablando vagamente, el currículo actual (escribo desde una perspectiva americana) el currículo actual en relación a la geometría es estructurado de la siguiente manera. Mi descripción obviamente es bastante simplificada. En los grados K.-8 la geometría Euclidiana se enseña de tal manera que los alumnos deben aprender:

1.Los nombres de formas geométricas importantes (e.g. círculo, triángulo, cuadrado, cubo, cilindro, esfera, etc.) y practicar la localización de estas formas en su vida cotidiana (e.g. puertas y ventanas son usualmente rectángulos; las tapaderas de registros y las monedas usualmente son círculos.

2.El desarrollo de conceptos básicos de distancia entre puntos, inicialmente a través de medirlas con una regla o a zancadas. Eventualmente se discute la desigualdad del triángulo, y el hecho de que en triángulos rectángulos se sostiene el teorema de Pitágoras.

3.Se desarrollan distinciones entre perímetro, área y volumen de una forma geométrica y los resultados se encaminan para encontrar el perímetro, área y volumen de varias formas. (El aprendizaje de estas ideas requiere hacer conexiones entre el uso de números y las medidas de varias cantidades asociadas a las formas).

4.Conceptos de simetría: Se describen puntos de simetría, rotaciones, reflexiones y translaciones. Frecuentemente las conexiones son hechas con arte y diseño. Algunas veces los polígonos, poliedros y cubiertas del plano se discuten y relacionan a la simetría. Algunas veces se muestran las conexiones con el concepto de una función y se desarrollan las raíces de una "teoría" de geometría de las transformaciones.

5.Figuran las propiedades básicas de punto y línea en el plano Euclidiano (grados 6-8); la suma de ángulos de un triángulo; ángulos asociados con una línea que corta un par de líneas paralelas; ángulos verticales, etc.

6.Asuntos relacionados con el tamaño y proporción de las formas geométricas (si uno dobla el radio de una esfera, ¿qué pasa con el área de la superficie y el volumen de la esfera?).

En los grados 9-12 se enseñan geometría adicional. La mayoría de ella se concentra en el 10º grado, donde se da un tratamiento histórico y deductivo de la geometría Euclidiana. En años recientes los educadores se han apartado de este acercamiento a uno en el que los estudiantes son impulsados a desarrollar conjeturas acerca de la geometría Euclidiana, usando sistemas de software como Geometric Supposer, Geometer´s Scketchpad o Cabri. Despues de hacer y probar una conjetura tanto como sea posible usando el ambiente de la computadora, los intentos se hacen para probar la conjetura basada en resultados anteriores. Es importante notar que esta ruta raramente toma el acercamiento formal del pasado, que ponía énfasis en términos indefinidos y axiomas.

De cualquier manera en los Estados Unidos en el 9º grado ocurre un dramático abandono del estudio sistemático de las matemáticas. Un estudio ha indicado que el número de estudiantes que llevan matemáticas en high school después del 9º grado cada año decae en ! Consecuentemente, sólo la mitad de los estudiantes que estudian álgebra en el 9º grado van a continuar con un estudio de la geometría como el descrito antes, el cual se enseña típicamente en el 10º grado.

El problema con una revisión limitada de la geometría en la matemática preuniversitaria (como se enseña en América) es que falla al enfrentarse con la variedad de realidades sociales y matemáticas:

La expectativa legal de que todos los americanos[1] debieran graduarse de high school está cerca de ser una realidad. Por ejemplo, en 1900 el porcentaje de jóvenes de 17 años graduados de high school era 6.4%. ¡Ahora este número es aproximadamente 75%! Aún más, más y más estudiantes buscan tener una educación superior.

Geómetras profesionales raramente se encuentran ya interesados en la axiomática y muy pocos de ellos están interesados en los tipos de conjeturas que son exploradas y descubiertas usando herramientas de software como las descritas anteriormente.

Dadas las necesidades cambiantes de los graduados de high school y la naturaleza de la geometría moderna, ¿cuál es la alternativa a lo que ahora se enseña?. Debido a la tan especial naturaleza de la geometría es posible enseñarla en los primeros grados de manera que se establezca un vínculo entre lo que se enseña durante toda la experiencia estudiantil con la geometría, con lo que actualmente interesa a los profesionales que la estudian. Mantener la meta general de que la geometría forme parte del currículo general (i.e. enseñar pensamiento lógico, desarrollar el concepto de prueba como una herramienta única para matemáticas, proveer de herramientas matemáticas útiles para la vida cotidiana, proveer un conocimiento razonable como base para futuros científicos y matemáticos, etc.).

Mostrar a los alumnos la relación entre la geometría y la física del espacio.

Este nuevo acercamiento al currículo de la geometría se puede basar en parte en el uso de modelos manipulativos y físicos y en el uso de software de computadora. Un currículo así enfatiza los aspectos visuales de la geometría. Hace notar tanto aspectos discretos, combinatorios, no métricos, y topológicos de la geometría como sus aplicaciones. Más detalles de estas ideas se pueden encontrar en [6] y brevemente en lo que sigue.

Qué precio debemos pagar para hacer un cambio de este estilo? En mi opinión casi ninguno. A los estudiantes que se identifican como dotados matemáticamente, se les puede referir a uno de los muchos libros que tratan en forma deductiva la teoría de la geometría Euclidiana con mucho más detalle que el que puede encontrarse en el currículo. Ya que esta pequeñísima parte de la población estudiantil de high school continuará su carrera en ciencias matemáticas (e.g. matemáticas, estadística, investigación de operaciones, etc.) la ganancia para la sociedad es mucha: un público que es mejor educado acerca de la naturaleza de la geometría y de las matemáticas, y el cual puede ver - de una manera genuinamente significativa- la relación entre lo que es hacer matemática por sí mismo y el desarrollo de nuevas tecnologías.

¿Cuáles son algunas de las nuevas actividades e ideas de tipo geométrico que se pueden explorar en las clases de nivel preuniversitario?. Aquí hay una muestra:

1.Teoría de gráficas

2.Compresión y corrección errores en códigos.

3.Superficies.

4.Patrones de Frieze, de empapelado, de fábricas.

5.Nudos.

6.Poliedros y cubiertas.

Una interrogante natural es qué tópicos exactamente deben ser agregados al currículo actual y cuáles deben ser eliminados. En las escuelas elementales creo que es tan pequeño lo que se hace actualmente, que solamente se pueden hacer las adiciones. Entre los tópicos que merecen tratamiento (o más tratamiento) están los nudos, la teoría de gráficas, las cubiertas y poliedros, y las aplicaciones. Sin embargo, en grados más altos creo que en lugar de dedicar tanto tiempo a la geometría deductiva como actualmente se hace, debiéramos usar solamente una muestra de geometría deductiva en high school, y tratar la geometría deductiva como sólo una de las muchas "arenas" del conocimiento, métodos e ideas de la geometría.

En conclusión, el contenido tradicional de geometría en los últimos grados de la high school no es menos importante para las matemáticas y la ciencia que como siempre ha sido, pero la insistencia en el dominio del currículo tradicional del 10º grado no solamente ha continuado la tasa de deserción antes mencionada sino también ha contribuido a estereotipos negativos sobre las matemáticas (ver [8]). Los tópicos de la nueva geometría y sus aplicaciones deben ser agregadas al currículo y algún material tradicional debe ser eliminado de lo que actualmente enseñamos. Una manera de realizar esto pudiera consistir en tratar una muestra de tópicos tradicionales de Euclides como lo típico de lo que sucede en otras partes de su trabajo.

REFERENCIAS

[1] Adams, C., The Knot Book, W.H. Freeman, 1994.

[2] Chartrand, G., Graph Theory Models, Dover, 1977.

[3] coxeter, H.S.M. & Greitzer, S., Geometry Revisited, MAA, 1967.

[4] Foulds, L., Graph Theory and its Applications, Springer, 1992.

[5] Honsberger, R., Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, New Mathematics Library, 37, MAA, Washington, 1995.

[6] Malkevitch, J. (Ed.), Geometry´s Future, Consortium for Mathematics and its Applications, Lexington, MA., 1991.

[7] Malkevitch, J., Graph Theory, Consortium for Mathematics and its Applications, Lexington, MA., 1995.

[8] Malkevitch, J., Mathematic´s Image Problem, (unpublished manuscript, available from the author).

[9] Malkevitch, J., Tomorrow´s Geometry, in: Heeding the Call to Change, Steen L., (Ed), MAA, Washington, 1992.

[10] Prenowitz, W. & Jordan, M., Basic Concepts of Geometry, Blaisdell, MA., 1965.

[11] O´Rourke, J., Art Gallery Theorems and Algorithms, Oxford Univ. press, 1987.

[12] Osserman, R., Poetry of the Universe, Anchor Books, 1995.

[13] Richards, J., Mathematical Visions, Academic Press, 1991.

[14] Trudeau, R., Dots and Lines, Dover Press.

[15] Zimmermann, W. & Cunningham, S., Visualization in the Teaching and Learning of Mathematics, MAA, Washington, 1991.



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