LA DEMOSTRACIÓN EN PERSPECTIVA
Introducción: de
Euclides a Hilbert
Luis E. Moreno Armella
Departamento de Matemática Educativa
CINVESTAV-IPN
Article publicat a la Revista Mexicana d´Investigació
Educativa, Vol. 1, 1996
Geometría y desustanciación
La demostración del V
postulado
Consecuencias: hacia
la estructura
La Matemática no es sólo un cuerpo de
conocimientos sino una actividad. En la versión
contemporánea de la disciplina, parte del núcleo de la
actividad lo constituye la demostración. En
realidad ha sido así desde la refundación de la
disciplina en manos de los griegos.
La matemática griega introdujo un elemento
novedoso en la matemática: el método deductivo,
en el marco de las organizaciones locales. Por
ejemplo la geometría del triángulo, la geometría de la
circunferencia fueron desarrollándose como pequeños
universos de conocimiento geométrico. De esta manera
fue posible aplicar los resultados que iban siendo
establecidos dentro de estos universos a problemas del
espacio físico. Desde luego, la geometría se desarrolla
como una representación y organización del
conocimiento sobre el espacio físico. Un ejemplo
sobresaliente lo constituye el método ideado por
Eratóstenes para estimar el radio de la tierra. Este
tipo de ejemplos, en donde no es posible la verificación
directa del resultado, fue importante para establecer el
método deductivo como un criterio de validación, en
cierta forma para sustituir una comprobación que estaba
ausente.
En la incorporación del método deductivo a la
matemática también resultó central la intención
filosófica de construir una ciencia teórica cuya meta
era el conocimiento de la verdad (Véase Metaphysics,
p.512). El objetivo del método deductivo era explicar: explicar
era demostrar. Para explicar, hay que partir, en una
ciencia, de primeros principios. Esta
organización, ya de carácter global, en la geometría,
quedó plasmada en los Elementos de Euclides.
Allí hay una organización que rebasa ampliamente las
organizaciones locales a las que ya hemos hecho
referencia al comienzo de este trabajo. La intención
filosófica de construir una ciencia desde sus primeros
principios, la podemos hallar en Aristóteles quien se
propuso analizar lo que era una ciencia demostrativa.
El tema central de su libro Tópicos es la
demostración y la facultad que la realiza (véase
Tópicos I.1, p.39). Allí se encuentran los elementos
que componen una ciencia demostrativa:
(i) las definiciones
(ii)los primeros principios, que los hay de dos
clases: los específicos de cada ciencia, llamados postulados
y los comunes a todas, los axiomas
(iii) finalmente, está el cuerpo deductivo,
compuesto por las proposiciones demostradas a través de
la inferencia.
A grandes rasgos, estos son los antecedentes de
la organización axiomática de la geometría griega. Lo
que siguió, es decir, la exploración de las
proposiciones como miembros constitutivos de un sistema
axiomático de geometría, fue cambiando,
gradualmente, el significado de estas mismas
proposiciones. Dejaron de ser vistas como
representaciones de alguna propiedad del espacio
(físico). Es decir, fueron perdiendo su valor
ontológico, y fue enfatizado su aspecto lógico.
Empero, esto no fue un proceso breve. Duró varios siglos
y hubo profundas razones para ello.
La principal fue quizás, el desarrollo
impulsado por los intentos de demostrar el V Postulado,
pues ya desde tiempos de Euclides fue visto como una
proposición muy complicada para adjudicársele la
categoría de postulado: carecía de la evidencia en sí
que debía caracterizar las proposiciones dignas de tal
nombre. La historia de los intentos de demostración del
postulado de las paralelas cubre una parte sustancial de
la historia de la geometría hasta el siglo XIX. Cubre,
en particular, parte importante de la evolución de la
idea de demostración. Desde el comienzo, fue claro para
quienes buscaron tal prueba, que habría que hacerlo
dentro del contexto euclidiano y ello comportaba una
hipótesis de profundo valor epistemológico: el
espacio era euclidiano. La demostración del
postulado simplemente haría más ligero el sistema
postulacional. No hubo, en general, duda alguna del
isomorfismo entre el sistema euclideo y el espacio
físico. Hasta comienzos del siglo pasado pues, la idea
de lo que constituía una demostración en geometría fue
esencialmente la misma que la establecida oficialmente en
los Elementos de Euclides.
La exploración rigurosa de los fundamentos de
la matemática durante el siglo XIX, condujo a la
desvalorización de la figura como objeto
cognitivo dentro de la matemática. Este abandono de lo
visual trajo como consecuencia, el predominio del
lenguaje analítico para comunicar las matemáticas.
Hasta el siglo XIX la obra de Euclides fue
considerada como uno de los modelos de la matemática por
la metodología mediante la cual valida sus resultados.
Cuando Newton publica su obra, los Principia, toma
como modelo a los Elementos de Euclides. Empero, en su
trabajo sobre el cálculo, que se desarrolla mediante el
lenguaje del álgebra, sus criterios de legitimación son
diferentes. Todo esto nos enseña que hasta el siglo
XVIII la geometría y el álgebra se regían por
diferentes criterios validatorios (véase el trabajo de
Newton sobre Series Infinitas, edición de Whiteside).
La situación que acabamos de describir cambió
radicalmente durante el siglo XIX. Entonces, la
metodología de la geometría fue adoptada por el
álgebra y el análisis. La geometría misma sufrió
cambios radicales a través de la obra Fundamentos de
Geometría de D. Hilbert. En los Elementos, los
axiomas son verdades evidentes por lo cual no
necesitan de una demostración que los justifique como
tales. En consecuencia, lo que podamos deducir de ellos,
tendrá también el carácter de verdad que tienen los
axiomas. En cambio, en el trabajo de Hilbert, no se tiene
en cuenta el carácter de verdad de los axiomas; lo
fundamental es que el conjunto de axiomas sea
consistente. Es decir, que los axiomas no se contradigan
entre sí. Por ejemplo, no debe haber, además del axioma
de unicidad de la paralela por un punto exterior a una
recta, otro axioma que afirme o del cual pudiera
deducirse, la existencia de más de una paralela por un
punto exterior a una recta. Los resultados que se
deduzcan de los axiomas, tendrán el carácter de deducciones
pero no un valor asociado de verdad.
LA VERDAD ---------------- > LA CONSISTENCIA
Este esquema sugiere la transformación que
sufrió la axiomatización de Euclides en manos de
Hilbert: una extracción del significado de los términos
y proposiciones de la geometría y su correspondiente
sustitución por el criterio lógico de la consistencia.
Este proceso de desustanciación de la geometría,
en el que ya no importa la naturaleza de los objetos de
los que se habla sino la coherencia del discurso,
corresponde a un movimiento general en la matemática del
siglo XIX.
Geometría
y desustanciación
La obra de Hilbert sobre los fundamentos de la
geometría apareció como consecuencia de un movimiento
general de la matemática: la búsqueda de fundamentos de
naturaleza analítica para esta disciplina. Se partió de
una idea expresada por Hilbert sobre los axiomas de una
teoría: lo realmente importante no son los significados
(interpretaciones) que podamos asociar a tales axiomas
sino la coherencia que ellos mantengan entre sí. Los
axiomas juegan el papel de definiciones implícitas
de los términos de la teoría que vienen mencionados en
estos axiomas. Entonces, según Hilbert, no importa lo
que son los puntos, las líneas y los planos; lo
que importa son las relaciones entre ellos que vienen
dadas por los axiomas. El libro de Courant--Robbins ¿Qué
es la Matemática?, expresa este punto de vista de
manera espléndida:
"A través de
los tiempos los matemáticos consideraron sus
objetos--números, puntos etc.--como cosas sustanciales
en sí. Pero en vista de que aquellos desafiaban una
descripción adecuada, los matemáticos del siglo pasado
llegaron a la convicción de que el problema de la
significación de dichos objetos como cosas sustanciales
no tenía sentido dentro de la matemática. Las únicas
proposiciones relativas a ellos que importan son las que
expresan las relaciones mutuas entre objetos indefinidos:
su estructura y relaciones... la percepción de la
necesidad de la desustanciación de los objetos
matemáticos ha sido uno de los resultados más fecundos
del desarrollo axiomático moderno"
Dos procesos pueden ser identificados como
cruciales para desencadenar el programa de
desustanciación impulsado por Hilbert. Uno, la
fundación de las geometrías no-euclidianas. Con el
advenimiento de la geometría de Lobachevsky, quedó
inaugurado un nuevo camino para la geometría: la
geometría como representación de un espacio posible. En
otros términos, el paso de Euclides a Lobachevsky es
el paso de la geometría de los objetos a la geometría
de las estructuras.
El problema de decidir si el espacio es euclideo
ya no es más un problema de la geometría sino de la
física. La geometría suministra modelos, no
representaciones icónicas del espacio. Hay otro punto de
vista desde el cual puede generarse una novedosa
interpretación del formalismo hilbertiano. Es la debida
a Thom:
La gran lección de Hilbert consiste en
mostrarnos que la formalización absoluta sólo es
posible al costo de la extracción total del significado
(del sistema axiomático del que estemos dando cuenta)
Podemos decir entonces que el formalismo es la
condición mediante la cual la acción queda separada del
significado.
La
demostración del V postulado
Hemos visto los extremos de una historia.
Digámoslo así: todo comenzó con Euclides y terminó
con Hilbert. Este camino es el que lleva de la verdad
a la consistencia.
La ciencia griega representa el resultado de una
actividad cognitiva sobre lo empírico. Está
vinculada prioritariamente a la abstracción empírica.
La ciencia de Hilbert es resultado de una reflexión
sobre una ciencia ya constituida, cada concepto es
resultado de una reflexión sobre el contexto total del
concepto. Es resultado de una abstracción reflexiva.
Entonces, la geometría griega trata de
descubrir verdades ocultas mediante un razonamiento
deductivo íntimamente vinculado a la ontología.
Esta característica subsiste durante siglos y puede
verse cómo influye en la estructura de los
razonamientos que buscan demostrar el V postulado.
Consideremos un ejemplo: Wallis (1616-1703). Su
estrategia se apoya en la existencia de triángulos
semejantes. Uno de los postulados de Euclides nos dice
que con cualquier centro y cualquier radio puede trazarse
una circunferencia. En particular pueden trazarse
diferentes circunferencias concéntricas. Dado que los
triángulos son figuras aún mas simples, esta
observación hace plausible suponer la existencia de
triángulos semejantes. Esto es parte de la ontología
subyacente a la geometría.
La demostración de Wallis es como sigue: dado
el punto P exterior a la recta l constrúyase la paralela
m a l por P.
es perpendicular tanto a l como a m (Q en l).
Sea n otra recta distinta a m y a la recta determinada
por , que pase por P. Tómese R sobre n, entre m y
l y sobre m tómese S el pie de la
perpendicular a m. Considerando el triángulo PSR y
el lado debe existir un punto T de modo que el triángulo
PQT sea semejante al triángulo PSR. Se concluye que el
rayo PR coincide con el rayo PT. Es decir T está sobre
el rayo PR. Por otro lado, el ángulo PQT es recto.
Entonces T está en la intersección de l y n. Es decir
la única paralela a l por P es m.
Llevando el análisis más lejos podemos
demostrar a su vez, que la existencia de triángulos
semejantes se sigue del V postulado. Como son
lógicamente equivalentes, la prueba de Wallis sufre del
mal de petición de principio. El mal del que
sufren todas las demostraciones del V postulado cuando se
tratan de realizar desde los otros cuatro postulados de
Euclides. Esto es lo que llevó a Lobachevsky a declarar
en sus Nuevos Principios de la Geometría (1835):
Es bien conocido que hasta la fecha la
Teoría de las Paralelas ha permanecido incompleta. Los
esfuerzos infructuosos hechos desde tiempos de Euclides y
a lo largo de un periodo de más de dos mil años, me han
convencido de que los conceptos involucrados en esta
investigación no contienen la verdad de lo que se desea
demostrar; que para establecerla se necesita el apoyo del
experimento, por ejemplo de observaciones astronómicas,
como es el caso con otras leyes de la naturaleza.
Este párrafo muestra de modo convincente que
hacia 1835 estaba clara la independencia lógica del V
postulado de los restantes de la geometría euclidiana, y
que se había producido una ruptura en la interpretación
que la tradición había impuesto entre la geometría y
el espacio físico.
Consecuencias:
hacia la estructura
Hasta el siglo XIX la matemática podía
apoyarse tanto en la geometría como en el álgebra para
buscar sustentación a sus afirmaciones. La toma de
conciencia de que el contenido de verdad quedaba
sustituído por la consistencia del modelo, volcó los
esfuerzos hacia la aritmética. ¿Habría allí la fuente
de verdad que parecía necesaria para continuar el
trabajo matemático? Veamos la situación que prevalecía
en el cálculo. Desde Galileo y Newton, una de las
tradiciones generadoras del cálculo extrajo, del
contexto geométrico del estudio dinámico del
movimiento, las reglas de operación del nuevo cálculo.
El libro de Polya, Matemáticas y Razonamiento
Plausible reproduce de modo por demás brillante,
varios ejemplos de esto. Aquí, sin embargo, no puede
hablarse de una actitud totalmente anclada en el
pensamiento empirista pues en el estudio del movimiento
aparece un concepto que no pudo ser extraído de allí:
el concepto de velocidad instantánea.
El desarrollo del cálculo, del cálculo infinitesimal,
siguió las líneas que le eran posibles con este
sustento conceptual. Desde luego hubo momentos de crisis
como el que se dió alrededor del problema de la cuerda
vibrante y que en el fondo reflejó una incapacidad del
cálculo, hasta ese momento, para modelar el movimiento
de un continuo. Pero el momento de crisis que nos
interesa registrar se dió durante el siglo XIX.
Es cuando Weierstrass publica (1872), gracias a
los buenos oficios de su discípulo Paul Du Bois Reymond,
su teorema sobre la existencia de funciones continuas
que en ningún punto tienen derivada. Las
consecuencias de este resultado son profundas. Hasta
entonces, para hablar de una función continua se decía
que era aquella cuya gráfica puede trazarse sin
levantar el lápiz del papel. Aún hoy en día usamos
esta expresión cuando queremos dar una idea informal sobre
la continuidad de una función. Pero el resultado de
Weierstrass mostró que se podía hablar de la
continuidad en un lenguaje totalmente analítico. Es
decir, no era necesario recurrir a las imágenes
geométricas, a lo que los dibujos sugerían para poder
hablar con precisión sobre la continuidad. La
existencia de funciones continuas sin derivadas así lo
mostraban, pues tales funciones no se pueden graficar.
Aparecieron desde entonces advertencias sobre lo
peligroso que resultaba confiar demasiado en las
conclusiones extraídas de un dibujo. Se dieron demostraciones
falsas basadas en dibujos de triángulos, que
llevaban a la conclusión de que todos los triángulos
son equiláteros, por ejemplo. El ojo era digno de
desconfianza, como ha dicho P. Davis.
La crisis no era
sólo de carácter metodológico. Las estructuras
conceptuales, la continuidad por ejemplo, debieron
entonces ser revisadas. Esto nos habla de un cambio en la
naturaleza misma del conocimiento. Una vez más el
problema de la desustanciación. La toma de conciencia
sobre la estructura.
Desde luego, en esta perspectiva se quedan
muchas cosas por fuera: unas por la presión del tiempo,
otras por mi desconocimiento. Pero creo que lo que sí
puede verse, desde los ojos de nuestra
teoría--parafraseando a Hanson--es que la idea de
demostración está vinculada orgánicamente a la
concepción de los objetos de la matemática y que
ambos son resultado de una historia.
REFERENCIAS
Euclides, Elementos de Euclides,
ed. Gredos, Madrid, 1991.
Hilbert, D. Fundamentos de la Geometría,
Madrid, C.S. I. C. 1952.
Courant, R. , Robbins, H. ¿Qué es la
Matemática?, ed. Aguilar, Madrid, 1962.
Whiteside, T. Mathematical papers of I. Newton,
Cambridge U. Press,
1967.
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