COMPONENTES DE UNA HISTORIA DEL
ÁLGEBRA
EL TEXTO DE
AL-KHWARIZMI RESTAURADO
Luis Puig
Departamento de Didáctica de la Matemática
Universitat de València
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La historia oficial del álgebra, la que aparece
narrada en los manuales de historia de las matemáticas o
la que se menciona como referencia cuando se habla de
ella en los textos de enseñanza, suele tomar la forma
del relato del progreso, lento pero inexorable, en el
descubrimiento de técnicas y fórmulas para la
resolución de ecuaciones y en el descubrimiento de un
lenguaje en el que esas técnicas y esas fórmulas
aparecen, al final de la historia, verdaderamente
expresadas. Ese progreso se periodiza habitualmente
mediante los términos “álgebra retórica”,
“álgebra sincopada” y “álgebra
simbólica”, que puntúan la línea de avance que
culmina con Vieta y Descartes en los siglos XVI y XVII,
desde una etapa primitiva en que el “álgebra”
es “retórica”, ya que los textos se escriben
en lenguaje vernáculo —la época paleobabilónica
entre 2000 y 1600 a. n. e.—, pasando por una etapa
—representada por las Aritméticas de
Diofanto (s. III)— en que los textos siguen escritos
en vernáculo, pero con algunos términos técnicos
escritos mediante abreviaturas. Esta segunda etapa es la
que se denomina con el nombre que ideó Nesselman en 1842
de “álgebra sincopada”[1].
Pero un relato que se quiera canónico no puede
dejar fuera de la historia el momento en que se
constituye lo que llamamos matemáticas, es decir, la
época de la Grecia clásica, que Diofanto, demasiado
tardío, no puede representar. Zeuthen tuvo la idea
afortunada, en 1886, de calificar de “álgebra
geométrica” el libro segundo de los Elementos de
Euclides[2],
con lo que, al añadirse esta supuesta álgebra a las
otras especies de álgebras, ya no había ninguna
dificultad para seguir la doctrina según la cual
“la ciencia clásica es europea y sus orígenes son
legibles directamente en la ciencia y en la filosofía
griegas”[3].
Si la historia se narra siguiendo ese
hilo, el álgebra árabe clásica, la que se desarrolla
desde el siglo IX a partir del Libro conciso de
cálculo de al-jabr y almuqa ¯bala —al-kita¯b
al-mukhta.sar f¯i . hisa¯b al-jabr wa'l-muqa¯bala—
de Mu . hammad ibn Mu¯sa¯ al-Khwa¯rizmi¯, de cuyo
título ha tomado su nombre el álgebra en la mayoría de
las lenguas europeas, queda relegada al papel de mero
intermediario entre la herencia griega y el Occidente
cristiano medieval[4],
y, además, de intermediario malo, ya que no significa
progreso alguno, sino que, por el contrario, se ve como
un retroceso a la etapa del “álgebra
retórica”.
En este texto, pretendo mostrar que la
historia puede narrarse de otra manera y presentar un
borrador de esa narración usando el texto de
al-Khwa¯rizmi¯ como material bruto. Esa historia puede
hacerse gracias a que desde hace ya una treintena de
años los trabajos de Roshdi Rashed y de Jens Høyrup
están urdiendo una trama distinta, pero hace falta
además que no se quiera componer con los nuevos hilos de
nuevo una historia lineal. A mi entender es preciso que
la historia del álgebra se narre entrelazando varias
historias: la historia del sistema matemático de signos
del álgebra, en particular, la historia del cálculo en
el plano de la expresión sin recurso al plano del
contenido; la historia de los conceptos de número; la
historia de las tradiciones subcientíficas de
resolución de problemas y la historia del método de
análisis para resolver problemas. Éstos al menos han de
ser los componentes de la historia del álgebra que creo
que hay que considerar.
índex
Aunque resulta poco menos que imposible
enumerar en pocas líneas todo lo que Roshdi Rashed y
Jens Høyrup han realizado, o tratar de resumirlo, y más
aún intentar encajar conjuntamente las piezas elaboradas
por uno y otro, en este apartado presento un comprimido
de todo ello.
A Roshdi Rashed se le debe el descubrimiento y
el establecimiento de un buen número de textos árabes
medievales. Los más importantes para mí son los que
menciono a continuación.
En primer lugar, el texto de cuatro de los
libros de las Aritméticas de Diofanto que se
daban por perdidos, en una traducción árabe de Qust¯a
ibn L¯uq¯a con el título de Arte del Álgebra,
hecha en el siglo IX pocos años después de la
aparición del libro de al-Khwa¯rizmi¯. Para la
historia del álgebra, este texto es importante ya que
permite saber, por un lado, en qué momento se conoce la
obra de Diofanto entre los árabes y, por otro, que la
traducción se hace al lenguaje del álgebra recién
establecido por al- Khwa¯rizmi¯.
En segundo lugar, el texto de un Tratado
sobre las ecuaciones de Sharaf al- D¯in al- .
T¯us¯i (s. XII), que desarrolla la obra algebraica ya
conocida de cUmar al-Khayy¯am, abordando lo que ahora
llamamos ecuaciones de tercer grado.
Finalmente, los textos de los libros de al- .
Hasan Ibn al- . Hasan Ibn al- Haytham Tratado sobre el
Análisis y la Síntesis y Tratado sobre los
Conocidos. En el primero de estos dos voluminosos
libros no sólo se retoma este método griego, sino que
se desglosa considerando subtipos de los dos tipos,
teorético y problemático, distinguidos por Pappus, y se
presentan ejemplos de aplicación de cada uno de los
subtipos en las distintas partes de las matemáticas. El
segundo está concebido de forma similar a como puede
considerarse el Data de Euclides, es decir, como
una recopilación de lo que ha sido ya establecido (dado
o conocido) y, por tanto, conviene tener a mano en
número tan grande como sea posible al usar el método de
análisis, ya que éste persigue reducir el problema al
que se aplica a uno que ya haya sido dado[5].
Es obvio que la aparición de estos textos
desconocidos hasta la fecha obliga a volver a organizar
partes importantes de la historia de las matemáticas.
Pero, además, su hallazgo no es fruto simplemente del
azar, sino de un proyecto general[6]que,
precisamente por tomar las matemáticas árabes clásicas
como un corpus específico y no como mero transmisor de
otros legados, hace buscar los documentos cruciales y no
los anecdóticos. Una de las consecuencias de la
consideración de estos nuevos textos es que la obra de
al-Khwa¯rizmi¯ no aparece aislada, sino como el
comienzo de una disciplina, que otros muchos matemáticos
reconocen de inmediato que empieza con él y que se
desarrolla a lo largo de varios siglos.
Jens Høyrup, por su parte, ha realizado
una nueva lectura de los textos algebraicos babilónicos
que se propone no proyectar sobre ellos el álgebra
posterior, sino recomponer el sentido del texto a partir
de los usos de los términos técnicos —y, en
general, la estructura del sistema matemático de signos
con que están escritos— que están efectivamente
presentes en ellos.
Esta lectura ha tenido como consecuencia
dejar de verlos como textos que tratan sobre números y
propiedades aritméticas, para mostrarlos como textos
geométricos en los que, sin embargo, los objetos y
relaciones geométricos carecen de compromiso ontológico
y pueden, por tanto, usarse para representar otros
tipos de objetos[7].
Además, Høyrup ha rastreado varias
tradiciones de planteamiento de problemas con formato de
enigmas o pasatiempos y de técnicas para su resolución,
presentes desde la época paleobabilónica hasta la Edad
Media. La fuente de esos problemas, cuyos enunciados los
presentan como si fueran problemas del “mundo
real”, pero que, en todos los casos, es imposible
que se presenten en la actividad práctica, la sitúa
Høyrup en dos tipos de prácticas: por un lado, la de
los ejercicios escolares en los que se pretende entrenar
en el uso de técnicas y, por otro lado, la exhibición
de la maestría en el dominio de las técnicas de una
profesión. Esta última práctica, de los agrimensores
en particular, habría constituido una tradición
“subcientífica” persistente a través de los
siglos en la que se habrían generado incluso técnicas
para resolver problemas ahora ya ajenos a la actividad
profesional y planteados con el único objetivo de
mostrar el orgullo de la profesión, en concreto, las
técnicas para resolver los problemas “de segundo
grado”[8].
Esa nueva lectura de los textos
babilónicos de “álgebra” y ese
establecimiento de tradiciones
“subcientíficas” de resolución de problemas
proporcionan unos antecedentes nuevos para el álgebra
árabe clásica, que Høyrup no sólo postula como
posibles, sino que presenta una prueba[9] de que efectivamente actuaron como antecedentes
de alguna manera. La prueba es un Liber mensurationum,
escrito por un tal Ab¯ u Bakr, probablemente a comienzos
del siglo IX y, en todo caso, antes del libro de
al-Khwa¯rizmi¯, cuyo original árabe no se ha
encontrado, pero del que hay editada[10]
una traducción latina del siglo XII, hecha por Gerardo
de Cremona.
Una parte de ese libro contiene una serie
de problemas que están resueltos de dos maneras: una que
sigue una pauta similar a la de los textos
paleobabilónicos y otra que Ab¯ u Bakr indica que está
hecha “según al-jabr” y que es muy
similar a la que aparece en el libro de al-Khwa¯rizmi¯.
Esta segunda técnica correspondería a otra tradición
subcientífica, propia de los que Th¯abit ibn Qurrah
llama “gentes de al-jabr” o
“seguidores de al-jabr”[11],
que probablemente eran algún tipo de contables.
Combinando lo que nos enseña Rashed con
lo que nos enseña Høyrup, el libro de al-Khwa¯rizmi¯
aparece pues como el momento de fundación de una nueva
disciplina teórica, a partir de la crítica de las
técnicas desarrolladas en tradiciones
“subcientíficas” ligadas a distintas
prácticas, que es reconocido inmediatamente como una
nueva disciplina y que tiene una continuación
floreciente durante varios siglos en el mundo árabe.
índex
3. UNA MIRADA DE CERCA AL TEXTO DE
AL-KHWA¯ RIZMI¯.
Una vez situado el libro conciso de
cálculo de al-jabr y al-muq¯abala en el
lugar en que lo he situado en el apartado anterior, lo
que me propongo ahora es presentar un apunte de sus
rasgos característicos. Para ello examinaré algunos de
los términos técnicos que usa al-Khwa¯rizmi¯, la
organización general del libro, el enunciado de una
regla para resolver un tipo de ecuación y su
demostración, la forma general de presentación de los
problemas y sus soluciones, las operaciones del cálculo,
y tres problemas que se resuelven con la regla enunciada
anteriormente como ejemplos de la forma de presentación
y de la ejecución de las etapas de las soluciones de los
problemas.
3.1. Los términos primitivos y
la “cosa”.
Si el libro de
al-Khwa¯rizmi¯ se traduce al sistema matemático de
signos (SMS) del álgebra elemental actual —como se
ha hecho habitualmente—, trata de la resolución de
ecuaciones cuadráticas y de problemas que pueden
resolverse mediante éstas. Ahora bien, esa traducción
hace que a menudo los enunciados de al-Khwa¯rizmi¯
parezcan torpes, redundantes o carentes de sentido. Ello
se debe a que los términos que utiliza no tienen el
mismo significado que los componentes de una expresión
como ax2 + bx + c =
0 en el SMS de ese álgebra.
En efecto, al comienzo del libro,
al-Khwa¯rizmi¯ introduce lo que él llama “las
tres especies de números”, que normalmente se han
traducido por los tres términos del trinomio. Ahora
bien, la palabra que en esas traducciones se ha hecho
corresponder al cuadrado de la x no es la palabra
árabe que significa ‘cuadrado’, sino la
palabra m¯al, cuyo significado es
‘posesión’ o ‘tesoro’. Como veremos
repetidas veces en lo que sigue, el uso de la palabra m¯al
en este libro de al-Khwa¯rizmi¯ no se corresponde
con el uso de ‘cuadrado’ en el SMS del álgebra
elemental actual. Por eso, he decidido mantener la
traducción literal ‘tesoro’ para m¯al con
el fin de evitar su identificación con x2.
Høyrup da tres razones contundentes para no traducir m¯al
por ‘cuadrado’[12].
En primer lugar, ‘cuadrado’ tiene un
significado geométrico del que m¯al carece;
traducir m¯al por ‘cuadrado’ hace
incomprensible el esfuerzo de al-Khwa¯rizmi¯ para
explicar que m¯al puede representarse mediante un
cuadrado (en el apartado 3.3, veremos cómo lo hace). En
segundo lugar, el significado de x2 como cuadrado
de la incógnita, propio del álgebra elemental actual,
hace que para un lector actual carezca de sentido
considerar el cuadrado como incógnita; por lo tanto, una
consecuencia de traducir m¯al por
‘cuadrado’ es que entonces no parece tener
sentido que al-Khwa¯rizmi¯, después de encontrar la
raíz, calcule también el m¯al, cuando es éste
la incógnita, y se le atribuye torpeza por hacerlo. En
tercer lugar, la identificación de m¯al con x2
conlleva la identificación de la raíz con la raíz
de la ecuación, cuando para al-Khwa¯rizmi¯ es la raíz
del m¯al, la raíz del tesoro. Traducido
así, el texto en que al-Khwa¯rizmi¯ define las
especies de números queda como sigue[13]:
Encontré que los números que son necesarios para
calcular por al-jabr y a l -muq¯abala son
de tres especies, a saber, raíces, tesoros y simples
números no atribuidos a raíz ni a tesoro.
Una raíz es cualquier cosa que será multiplicada por
sí misma, consistente en la unidad o números, hacia
arriba, o fracciones, hacia abajo. Un tesoro es la
cuantía total de una raíz multiplicada por sí misma.
Un simple número es un número cualquiera que puede
expresarse sin atribuirlo a raíz ni a tesoro (pág. 3)[14].
El carácter monetario de m¯al[15] aún queda más subrayado en otros enunciados
en los que explica el significado de las
“ecuaciones” y, al hacerlo, los “simples
números” pasan a ser dirhams, es decir, una
moneda:
Raíces y tesoros igualan números; es
como si tú dices, “un tesoro y diez raíces del
mismo, igualan treinta y nueve dirhams”; es decir,
¿cuál será el tesoro que, cuando se aumenta con diez
de sus propias raíces, asciende a treinta y nueve?
(pág. 5).
En este texto, además, puede verse que la
identificación de la palabra ‘raíz’ con la
incógnita o con la x tampoco es adecuada: por un
lado, en el texto no se dice simplemente “la
raíz”, sino “la raíz del tesoro”; por
otro lado, el resultado del problema tal como lo da
al-Khwa¯rizmi¯ deja bien claro que lo que se busca
—la incógnita— no es la raíz, sino el tesoro:
[…] queda tres, que es la raíz del
tesoro que buscabas; el tesoro mismo es nueve (pág. 5),
de modo que, en todo caso, el enunciado de este problema
habría que traducirlo al SMS del álgebra elemental
actual por x + 10 x = 39 , mejor que por x2
+ 10x = 39 .
Tesoros, raíces y simples números o dirhams
son pues los términos primitivos, las especies de
números, cuyas combinaciones permiten establecer
“todo lo que es necesario para calcular” en la
práctica. Con ellos, puede atender al-Khwa¯rizmi¯ la
petición del califa al-Ma’m¯un de componer
un tratado conciso sobre el cálculo por al-jabr y
al-muq¯abala, reducido a lo que es brillante e
importante en las aritméticas utilizadas constantemente
en los asuntos de herencias y legaciones, en los repartos
y los procesos legales, en el comercio y en todos sus
asuntos de agrimensura, de excavación de canales, de
cálculos geométricos y otras cosas variadas de especie
parecida (pág. 2).
La conceptualización básicamente monetaria de
los términos primitivos proviene probablemente de la
tradición de “las gentes de al-jabr”,
pero desde el principio representan especies de
números que se usan en cálculos, de modo que las
distintas combinaciones de esos términos primitivos
pueden concebirse como moldes formales. Veremos en la
descripción del esquema general del libro que lo que
viene inmediatamente después de la exposición de que
éstos son los términos primitivos es precisamente el
establecimiento de todas sus combinaciones posibles.
Al-Khwa¯rizmi¯ utiliza pues estos términos
monetarios para representar las posibilidades que pueden
presentarse al hacer los cálculos. Ahora bien, cuando lo
que aborda es la resolución de un problema concreto
utiliza otro término técnico, que nunca aparece en los
enunciados de los problemas: la palabra árabe shay’,
que se traduce habitualmente por ‘cosa’[16].
Según Rashed, esta palabra es un término coránico y de
la lengua filosófica, y en ese contexto significa
“todo lo que puede ser imaginado, sin realizarse sin
embargo en un objeto”, por lo que tiene un carácter
“vacío”, susceptible de recibir cualquier
contenido y, por tanto, es un candidato ideal para
nombrar una incógnita que pueda ser un número o una
magnitud[17],
o para desarrollar un cálculo en el plano de la
expresión. A menudo, se ha identificado también la cosa
con la x, la incógnita o la raíz. Sin embargo,
en el libro de al-Khwa¯rizmi¯ la relación entre los
términos primitivos tesoro, raíz y número o dirham, la
incógnita del problema y la cosa es más compleja. En
ocasiones, la incógnita del problema es un tesoro y
éste se representa mediante la cosa; otras veces, la
cosa representa la raíz de un tesoro y la raíz es la
incógnita; también puede suceder que la incógnita sea
un tesoro y que éste se represente mediante la cosa,
pero que en el curso de la solución la cosa se haya de
multiplicar por sí misma y, por tanto, se convierta en
la raíz de otro tesoro. En lo que sigue hay ejemplos de
varias de estas situaciones.
índex
3.2. La
organización general del libro.
En este apartado, voy a presentar una división
del libro de al-Khwa¯rizmi¯ en parte, con el fin de
tener una visión general de su organización. Los
títulos de las partes son míos. El libro comienza con
un prólogo en el que figura el encargo del califa
al-Ma’m¯un que ya he citado.
1) Los términos primitivos. Ya hemos
visto en el apartado 3.1 que, tras el prólogo, lo
primero que aparece en el libro es el establecimiento de
los términos primitivos —tesoros, raíces y simples
números— como las especies de números que se usan
en los cálculos.
2) Las formas normales. A continuación,
al-Khwa¯rizmi¯ plantea que esas especies de números
“unos pueden ser iguales a otros” y establece
todas las posibilidades, tres simples y tres compuestas:
tesoros igual a raíces,
tesoros igual a números,
raíces igual a números,
tesoros y raíces igual a números,
tesoros y números igual a raíces, y
raíces y números igual a tesoros.
Estas seis posibilidades de combinación de las
especies de números tienen el carácter del conjunto
completo de formas normales. El resto del cálculo
consistirá pues fundamentalmente en mostrar cómo
resolver cada una de estas formas normales y cómo
reducir cualquier problema a una de ellas.
3) Las reglas que resuelven cada una de las
formas normales. Veremos la regla correspondiente a la
quinta forma normal en 3.3. Las reglas se enuncian para
un tesoro; luego se dice que, si hay varios tesoros, hay
que reducir la expresión para que sólo haya uno;
y que, si hay parte o partes de un tesoro, hay que completar
el tesoro para que haya uno. En el apartado 3.5,
veremos que reducir a un solo tesoro y completar
el tesoro son, junto con las dos operaciones que dan
nombre al cálculo (al-jabr y almuqa ¯bala),
las operaciones mediante las que se reduce una expresión
cualquiera que traduce el enunciado del problema en
términos de operaciones con la ‘cosa’ a una de
las formas normales.
4) Las demostraciones de las reglas.
Examinaremos en 3.3, a título de ejemplo, la
demostración de la regla para la quinta forma normal,
“tesoros y números igual a raíces”.
5) Cálculo con la cosa. Al-Khwa¯rizmi¯
comienza este capítulo —que él titula “Sobre
la multiplicación”— diciendo que va a referir
en él “cómo multiplicar la cosa […] tanto si
está sola, como si se le añaden números o se le quitan
números o se quita de números” (pág. 15). Pero
antes efectúa tres multiplicaciones en las que no
interviene la cosa, sino sólo números, 10 + 1 por 10 +
2, 10 - 1 por 10 - 1 y 10 + 2 por 10 - 1, y justifica
comenzar por esas multiplicaciones con números por
razones didácticas: “he explicado esto, que puede
servir como introducción a la multiplicación de la cosa
cuando se le añaden números […]” (pág. 16).
Traduzco aquí una de las multiplicaciones que
al-Khwa¯rizmi¯ explica a continuación, como muestra de
la forma que adopta en su cálculo lo que para nosotros
es la “regla de los signos”. Cuando dices diez menos cosa por diez y cosa,
dices diez por diez, cien, y menos cosa por diez, diez
cosas “substractivas”, y cosa por diez, diez
cosas “aditivas”, y menos cosa por cosa, tesoro
“substractivo”;
por tanto, el producto es cien dirhams menos un tesoro[18](pág.
17).
6) Cálculo con “radicales”. Diversas
operaciones con raíces de números y de tesoros, que se
presentan como modelos de la forma de actuar con
“cualquier raíz, aditiva o substractiva, conocida o
sorda” [es decir, racional o irracional] (pág. 20).
7) “Los seis problemas”. Seis
problemas que sirven de modelo del uso de las seis formas
normales. En este capítulo es en el que aparecen las dos
operaciones que dan nombre al cálculo (al-jabr y al-muqa¯bala).
La presentación de los problemas y sus soluciones
sigue siempre el mismo esquema, que presentaremos en 3.4.
En 3.6, veremos el problema que se reduce a la quinta
forma normal.
8) Más problemas variados. Un conjunto de
problemas, que ocupan las páginas 30 a 48. En 3.6,
veremos dos de ellos, que también se reducen a la quinta
forma normal.
9) Un corto capítulo sobre problemas de
transacciones mercantiles.
10) Un capítulo de problemas de medidas
de áreas, longitudes y volúmenes de figuras
geométricas.
11) Un larguísimo capítulo de problemas de
herencias, que ocupa de hecho la mitad del libro (págs.
65 a 122). Estos problemas de herencias son de
primer grado. Ahora bien, al-Khwa¯rizmi¯ usa en casi
todos ellos el término ma¯ l ,
‘tesoro’, para referirse a la cantidad de
dinero dejada en herencia, con lo que se muestra de nuevo
aquí lo erróneo de identificar ma¯ l con x2.
Esta descripción somera que acabo de hacer habla por sí
sola: la organización del libro no tiene nada que ver
con la de sus antecedentes, que se presentan siempre como
colecciones de problemas, ordenados en ocasiones por las
configuraciones geométricas de las que tratan (es el
caso de muchas series de tablillas babilónicas) o por
otros criterios, pero nunca presentados después de un
catálogo completo de formas normales a las que pueden
reducirse, ni con el acompañamiento de un cálculo que
se desarrolla en el plano de la expresión, al hacerse
con formas vacías, ‘cosas’.
índex
3.3. La quinta forma
normal como ejemplo: enunciado de la regla y su
demostración.
1) La quinta forma normal y su regla:
Tesoros y números igual a raíces; es como si tú dices,
“un tesoro y veintiuno en números igualan diez
raíces del mismo tesoro”. Es decir, ¿cuál será
la cuantía del tesoro que, cuando se le añade veintiún
dirhams, iguala el equivalente de diez raíces del mismo
tesoro?
Solución: Divide en dos las raíces; la mitad es cinco.
Multiplícalo por sí mismo; resulta de ello veinticinco.
Quítale el veintiuno asociado con el tesoro; el resto es
cuatro. Extrae su raíz, es dos. Quítalo de la mitad de
las raíces, que es cinco; queda tres. Esto es la raíz
del tesoro que pedías y el tesoro es nueve. O puedes
añadir la raíz a la mitad de las raíces, eso será
siete; es la raíz del tesoro que tú pedías y el tesoro
mismo es cuarente y nueve. Cuando encuentres un ejemplo
que te conduzca a este caso, intenta la solución por
adición, y si esto no te ayuda, la substracción
servirá ciertamente. Porque en este caso se puede
emplear tanto la adición como la substracción, lo que
no vale en ninguno de los otros casos en los que haya que
dividir en dos las raíces.
(pág. 7)
2) La demostración de la regla:
La demostración de la validez de la regla la
presento desmenuzada, y acompaño cada fragmento del
texto con la figura que se va construyendo para
justificar sus pasos. En el texto original sólo aparece
la figura final después de la frase “Ésta es la
figura”. Además del carácter didáctico de la
justificación de la regla, vale la pena entretenerse en
observar el cuidado que tiene al-Khwa¯rizmi¯ de indicar
que el cuadrado es una representación del tesoro
—distinción que obviamente desaparece si se traduce
m¯al por ‘cuadrado’ o por x2—,
y la distinción que hace entre la raíz del tesoro, que
está representada por un lado del cuadrado que
representa el tesoro, y la raíz de la superficie, que es
un rectángulo de lado la raíz del tesoro y ancho una
unidad, lo que le permite representar las diez raíces[19].
Cuando un tesoro y veintiún dirhams son iguales a diez
raíces, representamos el tesoro como un cuadrado cuyos
lados son desconocidos, que es la superficie AD. A
ésta añadimos un paralelogramo, la superficie HB,
cuya anchura, esto es, el lado HN, es igual a uno
de los lados de la superficie AD. La longitud de
las dos superficies juntas es igual al lado HC.
Sabemos que su longitud es en números diez, ya que cada
cuadrado tiene iguales sus lados y sus ángulos, y,
si uno de sus lados se multiplica por uno, eso da la
raíz de la superficie, raíz de la superficie y, por
dos, dos de sus raíces. Cuando se declara que el tesoro
y veintiún números es igual a diez de sus raíces,
raíz de la superficie sabemos que la longitud del lado HC
es igual a diez números, ya que el lado CD es
una raíz del tesoro. Dividimos el lado CH en dos
mitades por el punto G. Entonces sabes que la
línea HG es igual a la línea GC, y que la
línea GT es igual a la línea CD. Entonces
extendemos la línea GT una distancia igual a la
diferencia entre la línea CG y la línea GT para
cuadrar la superficie. Entonces la línea TK es
igual a la línea KM, y resulta un cuadrado, de
lados y ángulos iguales, que es la superficie MT.
Sabemos que la línea TK es cinco y ésa es
consecuentemente la longitud de los otros lados. Su
superficie es veinticinco, obtenida por la
multiplicación de la mitad de las raíces por sí mismo,
que es cinco por cinco, igual a veinticinco. Sabemos que
la superficie HB representa los veintiún números
que se añaden al tesoro. De la superficie HB,
cortamos por la línea TK, uno de los lados de la
superficie MT, dejando la superficie TA.
Tomamos de la línea KM la línea KL, que
es igual a la línea GK. Sabemos que la línea TG
es igual a la línea ML y que la línea LK,
cortada de la línea MK, es igual a KG.
Entonces la superficie MR es igual a la superficie
TA. Sabemos que la superficie HT añadida a
la superficie MR es igual a la superficie HB que
es veintiuno. H Pero la superficie MT es
veinticinco. Y así, restamos de la superficie MT,
la superficie HT y la superficie MR, entre
ambas igual a veintiuno. Nos queda una superficie
pequeña RK, que es veinticinco menos veintiuno,
que es cuatro. Su raíz, la línea RG, es igual a
la línea GA, que es dos. Si lo restamos de la
línea CG, que es la mitad de las raíces, queda
la línea AC, que es 3. Ésta es la raíz del
primer tesoro. Si se añade la línea GC, que es
la mitad de las raíces, resulta siete, o la línea RC,
la raíz de un tesoro más grande. Si se añade veintiuno
a este tesoro, también el resultado será diez de sus
raíces. Ésta es la figura. (págs. 11-13)
índex
3.4. El
esquema de presentación de los problemas y sus
soluciones.
Al-Khwa¯rizmi¯ es sistemático en la
presentación de las soluciones de los problemas, tanto
en la parte del libro que he denominado “los seis
problemas” como en la parte siguiente, “los
problemas variados”. Para describir el esquema que
sigue al-Khwa¯rizmi¯, lo he dividido en etapas
sucesivas, que he denominado enunciado, construcción
de la ecuación, reducción a una forma normal,
aplicación de la regla algorítmica, enunciado del
resultado, comentario. En este apartado sólo voy a
hacer consideraciones de carácter general sobre alguna
de las etapas. Los problemas que presento en el apartado
3.6 están divididos de acuerdo con ellas, y sirven como
ejemplo para explicar en qué consiste cada una. Los enunciados
de los problemas son de dos tipos:
a) La historia trata sobre el número
diez, que se ha dividido en dos partes; se han realizado
varias operaciones aritméticas con las partes y se da el
resultado de esas operaciones o una igualdad entre los
resultados de series de operaciones. Las incógnitas del
problema son las dos partes en que se ha dividido diez.
b) La historia trata de un tesoro al que se le
han realizado varias operaciones aritméticas y se da el
resultado de ellas en dirhams o en tesoros.
La incógnita es el tesoro.
En ninguno de los casos aparece el término
‘cosa’ en el enunciado del problema.
La construcción de la ecuación se
realiza analizando el enunciado del problema. Una
incognita del problema —ya sea una parte de diez, o
el tesoro del enunciado— se designa mediante
‘cosa’. Las operaciones narradas en el
enunciado se expresan como operaciones con la cosa. Las
expresiones resultantes se transforman recurriendo a los
resultados establecidos en el capítulo que he llamado
“cálculo con la cosa”. Finalmente se igualan
dos expresiones para formar una ecuación.
La reducción a una forma normal se realiza
aplicando las operaciones propias del cálculo que
describo en el apartado 3.5.
La aplicación de la regla algorítmica a la
ecuación en forma normal obtenida produce como resultado
un número (o dos), que se expresa a continuación en
términos de la incógnita del problema como una de las
partes de diez o el tesoro. Finalmente, hay siempre un comentario
de orden didáctico.
índex
3.5. Las
operaciones del cálculo.
Las operaciones del cálculo de al-jabr
y al-muqa¯bala son cuatro. Su objetivo es
reducir cualquiera de las ecuaciones obtenidas en la
etapa “construcción de la ecuación” de la
solución de un problema a una de las formas normales.
Para ello hace falta que no aparezca ninguna cantidad
“substractiva” y que no haya cantidades de la
misma especie en las expresiones que se igualan en la
ecuación. Pero además hace falta que sólo haya un
tesoro, ya que las reglas algorítmicas para resolver las
formas normales están enunciadas para un tesoro.
La operación al-jabr, o restauración,
se encarga de eliminar las cantidades
“substractivas”. Así, por ejemplo, si la
ecuación es la que aparece en 3.6.a, “cien y dos
tesoros menos veinte cosas igual a cincuenta y ocho
dirhams”, al-Khwa¯rizmi¯ nos dice: “restaura
[…] esos cien y dos tesoros de las veinte cosas
substraídas y súmalas a los cincuenta y ocho”.
La operación al-muqa¯bala, u oposición,
se encarga de eliminar la repetición de especies. Las
dos cantidades igualadas se “oponen”, es decir,
se comparan especie a especie y, si una especie está
repetida, se restan los números correspondientes.
Las otras dos operaciones se encargan de
que sólo haya un tesoro. Si hay varios tesoros, hay que reducir,
radd, la ecuación para que haya sólo uno. Si hay
parte o partes de un tesoro, hay que completar, ikma¯
l o takmi¯l. En ambos casos, la ecuación se
trata como un todo que se opera, como deja bien claro la
forma en que al-Khwa¯rizmi¯ expresa la operación en la
solución del problema que presento en 3.6.a:
“Reduce luego eso a un solo tesoro tomando la mitad del
conjunto” (cursiva mía).
Además, las operaciones que en cada caso
es necesario efectuar se realizan siempre en el mismo
orden, que es: restaurar, reducir, oponer y completar.
índex
3.6. Tres problemas que
se reducen a la quinta forma normal.
a) El problema de “los seis
problemas”.
Enunciado
He dividido diez en dos partes; luego he
multiplicado cada parte por sí misma y sumadas resulta
cincuenta y ocho dirhams.
Construcción de la ecuación:
Procedimiento. Haces una de las partes cosa y la
otra diez menos cosa. Si representamos cosa con c,
entonces: c, 10-c
Multiplica luego diez menos cosa por sí mismo,
resulta cien y un tesoro menos veinte cosas.
Si representamos tesoro con t, entonces:
(10-c)(10-c) es 100+t-20c
Multiplica luego cosa por cosa, resulta tesoro.
c×c es t
Suma luego ambos, resulta la suma cien y dos
tesoros menos veinte cosas igual a cincuenta y ocho
dirhams.
100+2t-20c=58
Reducción a la forma normal:
Restaura luego esos cien y dos tesoros de
las veinte cosas substraídas y súmalas a los cincuenta
y ocho, resulta cien y dos tesoros igual a cincuenta y
ocho dirhams y veinte cosas.
100+2t=58+20c
Reduce luego eso a un solo tesoro tomando la mitad
del conjunto, resulta cincuenta dirhams y un tesoro igual
a veintinueve dirhams y diez cosas.
50+t=29+10c
O pón luego con ése el otro, quitando
veintinueve de cincuenta, queda veintiún y tesoro igual
a diez cosas.
21+t=10c
Aplicación de la regla: Entonces halla
la mitad de las raíces, resulta cinco; multiplica por
sí mismo, resulta veinticinco. Quita luego de esto el
veintiuno conectado con el tesoro, queda cuatro. Extrae
luego su raíz, es dos. Quítala luego de la mitad de las
raíces, que es cinco, queda tres.
Resultado: Es una de las dos
partes, y la otra es siete.
Comentario: Este problema se refiere a
uno de los seis tipos, que es ‘tesoros y números
igual a raíces’. (págs. 28-29)
b) Un problema del tipo “10 dividido en
dos partes”.
Enunciado
Si una persona te pide esto: “He dividido
diez en dos partes, y cuando he multiplicado la una por
la otra, resultó veintiuno”;
Construcción de la ecuación:
entonces tú sabes que una de las dos partes de
diez es cosa y la otra diez menos cosa.
c, 10-c
Multiplica por tanto cosa por diez menos cosa;
entonces tendrás diez cosas menos un tesoro igual a
veintiuno.
c(10-c)
10c-t=21
Reducción a la forma normal:
Restaura luego las diez cosas del tesoro
[substraído] y añádelo a veintiuno. Resulta entonces
diez cosas, que igualan veintiún dirhams y un tesoro.
Aplicación de la regla:
Quita luego la mitad de las raíces y multiplica
el cinco que queda por sí mismo; es veinticinco.
Quítale luego el veintiuno asociado con el tesoro; queda
cuatro.
Extrae luego su raíz, es dos. Quítalo luego de
la mitad de las raíces, a saber, cinco; queda tres,
Resultado:
ésa es una de las dos partes. O, si lo
prefieres, puedes añadir la raíz de cuatro a la mitad
de las raíces. Entonces la suma es siete, lo que
también es una de las partes.
Comentario:
Éste es uno de los problemas que puede
resolverse por adición o substracción (pág. 30).
c) Un problema del tipo “un
tesoro…”.
Éste es el problema número 10 del capítulo de
problemas variados (págs. 40-41). Lo que presento no es
la traducción completa del texto, sino sólo aquellas
partes que permiten examinar cómo en el curso de la
construcción de la ecuación se intercambian los
significados de tesoro, raíz y cosa entre las cantidades
que se van construyendo. Éste es para mí un ejemplo
crucial para entender que en el libro de
al-Khwa¯rizmi¯, tesoro, raíz y dirham no se
corresponden con los tres términos de una ecuación de
segundo grado, que cosa no se identifica con raíz y sus
relaciones con la incógnita del problema.
Enunciado:
Sea un tesoro, cuyo tercio y tres dirhams se le
quita y luego se multiplica lo que queda por sí mismo y
resulta el tesoro. La incógnita es por tanto el tesoro.
El enunciado podríamos traducirlo por:
Construcción de la ecuación:
Su procedimiento. Quita un tercio y tres dirhams
del tesoro, queda dos tercios de él menos tres dirhams, lo
que es la raíz (cursiva mía).
Si designamos la raíz con r: Esa
expresión se identifica con la raíz, ya que
multiplicada por sí misma es el tesoro.
Multiplica por tanto dos tercios de cosa, esto
es del tesoro, menos tres dirhams por sí mismo
(cursiva mía).
El tesoro se identifica con la cosa t®c.
Dos tercios multiplicado por dos tercios resulta
cuatro novenos del tesoro y tres dirhams substractivos
por dos tercios de cosa, resulta dos raíces.
De nuevo tres dirhams substractivos por dos
tercios de cosa, resulta dos raíces y menos tres por
menos tres, resulta nueve dirhams. Son por tanto cuatro
novenos de tesoro y nueve dirhams menos cuatro raíces,
igual a una raíz.
La cosa, que ha substituido al tesoro, como se
multiplica por sí misma, da origen a una nueva que se
multiplica por sí misma, es ahora una ueva cantidad que
es un tesoro: cc ®t. Y como es una
cantidad raíz: c®r.
índex
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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mathématiques d’Ibn al-Haytham, – II: «Les
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siècle. Tomes I et II. Texte établi et traduit par
Roshdi Rashed. Paris: Les Belles Lettres.
ZEUTHEN, Hieronimus Georg. 1886. Die Lehre
von den Kegelschnitten im Altertum. Kopenhagen: Höst
& Sohn.
índex
[1]
1 El texto en que G. H. F. Nesselman introdujo ese
término es Versuch einer Kritischen Geschichte der
Algebra, 1. Teil. Die Algebra der Griechen. Berlin:
G. Reimer, 1842. También en ese texto habla de
“álgebra retórica”, pero, por supuesto, sin
referirse con este término al álgebra babilónica, cuyo
corpus aún no había sido establecido.
[2]
Según Árpád Szabó, Tannery habló ya en 1882 de
proposiciones algebraicas bajo forma geométrica. El
texto en que Hieronimus Georg Zeuthen introduce esta
noción de “álgebra geométrica” es Die
Lehre von den Kegelschnitten im Altertum. Kopenhagen:
Höst & Sohn, 1886. Como el mismo Szabó señala,
aunque es cierto que los enunciados de esas proposiciones
pueden traducirse con facilidad a enunciados algebraicos,
desde ningún otro punto de vista puede calificarse esa
parte del texto euclídeo de algebraico (cf. Árpád
Szabó. Les débuts des mathématiques grecques. Paris:
Vrin, 1977, págs. 367 y ss.).
[4]
O, incluso, desaparece. Esto es lo que sucede en el libro
de Nicholas Bourbaki Éléments d’Histoire des
Mathématiques [Paris: Hermann, 1969], en cuyo
capítulo L’Évolution de l’Algèbre el
álgebra árabe ni se menciona.
[5]
Los dos primeros están editados por Les Belles Lettres
en la colección Sciences et Philosophie Arabes,
que dirige el propio Rashed: Diophante, Tome III. Les
Arithmétiques. Livre IV, et Tome IV, Livres V, VI
et VII. Texte de la traduction arabe de Qus.t¯a ibn
L¯uq¯ a établi et traduit par Roshdi Rashed. Paris:
Les Belles Lettres, 1984; Sharaf al-D¯in al-.T¯us¯i, Œuvres
mathématiques, Algèbre et Géométrie au XIIe
siècle. Tomes I et II. Texte établi et traduit par
Roshdi Rashed. Paris: Les Belles Lettres, 1986. Los otros
dos son los primeros de una serie de tres artículos que
han aparecido en Mélanges de l’Institut
Dominicain d’Études Orientales du Caire: Roshdi
Rashed, “La philosophie des mathématiques
d’Ibn al-Haytham”, suivi du “Traité
d’al- . Hasan Ibn al- . Hasan Ibn al-Haytham sur
l’analyse et la synthèse”, MIDEO, vol.
20, págs. 31-231, 1990; y Roshdi Rashed, “La
philosophie des mathématiques d’Ibn al-Haytham,
– II: «Les Connus»”, suivi du “Traité
d’al- . Hasan Ibn al- . Hasan Ibn al-Haytham sur les
connus”, MIDEO, vol. 21, págs. 87-276, 1993.
[6]
Este proyecto se describe en su recopilación de
artículos Entre arithmétique et algèbre. Recherches
sur l’histoire des Mathématiques arabes, op. cit.
[7]
Cf. Jens Høyrup. “Algebra and Naïve Geometry. An
investigation of Some Basic Aspects of Old Babylonian
Mathematical Thought”. Altorientalische
Forschungen. Vol. 17, págs. 27-69 y 262-354, 1990.
[8]
Cf. Jens Høyrup. “‘Algèbre
d’al-¢gabr’ et ‘algèbre
d’arpentage’ au neuvième siècle islamique et
la question de l’influence babylonienne”, in
Fr. Mawet & Ph. Talon, eds., D’Imhotep à
Copernic. Astronomie et mathématiques des origines
orientales au moyen âge, pp. 83-110. Actes du
Colloque International, Université Libre de Bruxelles,
3-4 novembre 1989 (Lettres Orientales, 2) Leuven:
Peeters, 1992; y Jens Høyrup, “The Antecedents of
Algebra”, Filosofi og videnskabsteori på
Roskilde Universitetcenter. 3. Række: Preprint og
Reprints 1994 nr. 1.
[9]
Cf. Jens Høyrup, “Al-Khwa¯rizmi¯, Ibn Turk, and
the Liber Mensurationum: On the Origins of Islamic
Algebra”, ERDEM, vol. 2, págs. 445-484,
1986.
[10] Hubert L. L. Busard, “L’algèbre au
Moyen Âge: Le “Liber Mensurationum” d’Abu
Bekr”, Journal des Savants, avril-juin,
págs. 65-125, 1968.
[11] La edición del texto de Th¯abit ibn Qurrah,
escrito unos cincuenta años después de la aparición
del de al-Khwa¯rizmi¯, en el que figura esta
denominación es de Paul Luckey “_T¯abit b. Qurra
über den geometrischen Richtigkeitsnachweis der
Auflösung der quadratischen Gleichungen”, Sächsischen
Akademie der Wissenschaften zu Leipzig
Mathematisch-physische Klasse. Berichte 93, págs.
93-114, 1941.
[12] Høyrup ha utilizado para traducir m¯a l las
palabras inglesas “treasure”,
“fortune” y “wealth” y la palabra
francesa “trésor”. Las razones para no
traducir m¯a l por ‘cuadrado’ están en
la nota 11 de su trabajo “‘Oxford’ and
‘Cremona’: On the relations between two
Versions of al-Khwa¯rizmi¯’s Algebra”. Filosofi
og videnskabsteori på Roskilde Universitetcenter. 3.
Række: Preprint og Reprints 1991 nr. 1.
[13] Como mi conocimiento de la lengua árabe es
rudimentario, las versiones castellanas que presento
aquí del texto de al-Khwa¯rizmi¯ están realizadas de
la siguiente manera. He utilizado la edición de Rosen
del libro de al-Khwa¯rizmi¯ [Frederic Rosen. The
algebra of Mohammed Ben Musa. London: Oriental
Translation Fund, 1831]. He contrastado el texto árabe
de esa edición con la traducción inglesa de Rosen. He
modificado la traducción de Rosen adoptando traducciones
más literales de los términos y expresiones técnicos y
manteniéndolas sistemáticamente, cosa que él no hace.
He tenido en cuenta las observaciones que Høyrup hace en
su trabajo “ ‘Oxford’ and
‘Cremona’: On the relations between two
Versions of al-Khwa¯rizmi¯’s Algebra”, op.
cit. También he consultado las traducciones latinas
medievales editadas por Barnabas Hughes, “Gerard of
Cremona’s Translation of al-Khwa¯rizmi¯’s
al-jabr: A Critical Edition”, Mediaeval Studies,
48, págs. 211-263, 1986, y Robert of Chester’s
Translation of al-Khwa¯rizmi¯’s al-jabr: A New
Critical Edition, Boethius, Band XIV. Franz Steiner
Verlag: Stuttgart, 1989; sobre todo la de Cremona que,
como señala Høyrup, sigue muy al pie de la letra el
texto árabe. Combinando todo ello, he compuesto la
versión castellana.
[14] La numeración de las páginas es la del texto
árabe de la edición de Rosen citada, que también
figura en el margen de su traducción inglesa.
[15] En la traducción de Gerardo de Cremona m¯al
mantiene ese carácter, ya que éste utilizó en su
lugar el término latino census. Robert de
Chester, sin embargo, lo tradujo por substantia.
Ni uno ni otro pues lo tradujo por ‘cuadrado’.
La traducción de Gerardo de Cremona hizo fortuna y puede
encontrarse en un buen número de libros medievales.
También subraya este carácter monetario el término que
usó Finzi en el siglo XV al traducir al hebreo el libro
de álgebra de Ab¯u K¯amil (finales del siglo IX y
comienzos del X). Finzi tradujo m¯al por la
palabra tomada prestada del castellano ‘algos’,
con el significado obvio de ‘una cierta cantidad (de
dinero)’ (cf. The Algebra of Ab¯u K¯amil, in a
Commentary by Mordecai Finzi. Hebrew text and
translation, and commentary by Martin Levey. Madison, WI:
The University of Wisconsin Press, 1966).
[17] Cf. Roshdi Rashed. Introduction et notes à Les
Arithmétiques, tome III, op. cit., págs. 120- 123.
[18] En vez de “negativas” y
“positivas”, he traducido
“substractivas” y “aditivas”, como
hace Adel Anbouba, para ser menos anacrónico y mostrar
que esas palabras derivan de los verbos
“decrecer” y “añadir”. Ahora bien,
al-Khwa¯rizmi¯, gracias a la esquematización del
lenguaje que usa, puede decir también “menos
cosa”. Adel Anbouba señala que una expresión como
“menos cosa por menos cosa igual tesoro
aditivo” “va contra la gramática […] pero
es didácticamente cómoda” (cf. Adel Anbouba.
“L’algèbre arabe aux IXe et Xe siècles.
Aperçu général”. Journal for the History of
Arabic Science vol. 2, págs. 66-100, 1978). Está
claro que aquí no hay idea alguna de número negativo,
pero la operatividad con lo substractivo es mayor que la
que hay en las Aritméticas de Diofanto, ya que el
SMS con que éstas se escriben no permite más que una
inscripción de la leipsis en cada expresión.
[19] Esta distinción entre la raíz del tesoro, que
es una línea, y la raíz de la superficie, se convierte
en el Tratado de las ecuaciones de Sharaf al-D¯in
al-.T¯us¯i, en el que lo que se estudia son las
cúbicas, en muchas más distinciones: hay raíces
lineales, planas y sólidas, y, lo que es más
interesante, tesoros planos y sólidos. La raíz sólida
es “un sólido cuya base es una raíz plana y la
altura una unidad lineal” y el tesoro sólido
“es un sólido cuya base es el tesoro plano y cuya
altura es una unidad lineal” (cf. Sharaf al-D¯in
al-.T¯us¯i, op. cit., tome I, págs. 15-16).
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