Continuant la taula....

Pot observar que si augmentes la quantitat de discs fas el doble de moviments que abans més un. La justificació és la següents:

• Per moure 1 disc (Solució 1 = S₁) cal 1 moviment
• Per moure 2 discs (S₂) cal fer S₁  (1 moviment) per apartar el disc petit, un moviment per traslladar el gran i tornar a fer S₁ per posar el petit a sobre (S₂  = S₁+1+S₁ = 1+1+1 = 3)
• Per moure 3 discs (S₃) cal apartar els 2 discs superiors aplicant S₂, moure el disc inferior al darrer pal (un moviment més) i tornar a aplicar S2 per posar-hi a sobre els dos discs que havíem apartat (S₃ = S₂+1+S₂ = 3+1+3 = 7).
• Per moure 4 discs serà S4 = S₃+1+S₃ = 7+1+7 = 15

La fórmula per calcular els moviments

El mètode anterior justifica el càlcul dels moviments però no podem "saltar" dins de la taula. Si volem saber els moviments que calen per traslladar 13 discs hem d'esbrinar la solució de 12, i abans la d'11 i abans...

És millor trobar una fórmula que ens doni el "cas general"

La fórmula és la següent:

Per 64 discs calen...

Havíem de calcular quants moviments calien per traslladar 64 discs. Ara estem en disposició de fer-ho.

Aplicant la fórmula anterior la quantitat de moviments mínima serà de:

264-1 = 18344674420737091551615 moviments

Si suposem que es fa un moviment cada segon caldran

18₃446.744₂073.709₁551.615 segons = 213₂503.982₁334.601 dies = 584.942₁417.355 anys

Sembla que podem estar tranquils. El món no s'acabarà en 4 dies. Mira si no algunes dades que escrivim de manera aproximada:

• el Sol existeix des de fa uns 5 bilions d'anys
• la Terra té uns 3000 milions d'anys
• la vida a la Terra va aparèixer fa uns 1000 milions d'anys
• l'ésser humà té uns 500.000 anys.