Matemàtiques - 1r BAT - Còniques. L'El·lipse



És el lloc geomètric dels punts del pla tals que la suma de les seves distàncies a dos punts fixos anomenats focus, és constant. Aquesta constant en direm `2a`.



La suma de les distàncies `= 2a`


La distància de `(c,0)` a `(x,y)= sqrt((x-c)^2+y^2)`


La distància de `(-c,0)` a `(x,y)= sqrt((x+c)^2+y^2)`


`sqrt((x-c)^2+y^2)+sqrt((x+c)^2+y^2)=2a`


Aïllem una arrel quadrada, de manera que no ens quedi una suma d'arrels quadrades quan ho elevem tot al quadrat.

`sqrt((x-c)^2+y^2)=2a-sqrt((x+c)^2+y^2)`


Tot elevat al quadrat


`(x-c)^2+y^2=4a^2-2·2a·sqrt((x+c)^2+y^2)+(x+c)^2+y^2`


`x^2-2cx+c^2+y^2=4a^2-4a·sqrt((x+c)^2+y^2)+x^2+2cx+c^2+y^2`


Treiem el que és igual a cada costat de l'equació.


`-2cx=4a^2-4a·sqrt((x+c)^2+y^2)+2cx`


Deixem sola l'arrel en un costat.


`4a·sqrt((x+c)^2+y^2)=4a^2+4cx`


`sqrt((x+c)^2+y^2)=a+(cx)/a`


Ho elevem tot al quadrat.


`(x+c)^2+y^2=(a+(cx)/a)^2`


`x^2+2cx+c^2+y^2=a^2+2cx+((cx)/a)^2`


`x^2+c^2+y^2=a^2+(c^2x^2)/a^2`


`x^2-(c^2x^2)/a^2+y^2=a^2-c^2`


`(1-c^2/a^2)x^2+y^2=a^2-c^2`


`((a^2-c^2)/a^2)x^2+y^2=a^2-c^2`


Ho dividim tot per `a^2-c^2`


`x^2/a^2+y^2/(a^2-c^2)=1`




Si mirem el dibuix veiem que `c`, `b`, i `a` són les tres costats d'un triangle rectangle que compleixen el teorema de Pitàgores, `a^2-c^2=b^2` i l'equació queda:


`x^2/a^2+y^2/b^2=1`


Que és l'equació de l'el·lipse centrada a l'origen de coordenades.


Fixeu-vos que `(-a,0)` i `(a,0)` són el punts de tall en l'eix `x`, `a` s'en diu semieix horitzontal.


I `(-b,0)` i `(b,0)` són el punts de tall en l'eix `y`, s'en diu semieix vertical.