Matemàtiques - 1r BAT - Exercicis funció composta


1-Donades `h(x)=sqrt(x-3)` i `k(x)=3x+2`. Calcula:

    a) `h(k(x))`


      `h(k(x))=h(3x+2)=sqrt((3x+2)-3)=sqrt(3x+2-3)=sqrt(3x-1)`


    b) `k(h(x))`


      `k(h(x))=k(sqrt(x-3))=3sqrt(x-3)+2`


    d) Domini de `h(k(x))`


      Domini de, `h(k(x))=sqrt(3x-1)`

      Com hi ha una arrel quadrada i només es pot calcular si el radicand (el que hi ha dins l'arrel) és positiu.


      `3x-1>0 => x>1/3 =>` domini, `[1/3,+\infty)`


    e) Domini de `k(h(x))`


      Domini de, `k(h(x))=3sqrt(x-3)+2`

      Com hi ha una arrel quadrada i només es pot calcular si el radicand (el que hi ha dins l'arrel) és positiu.


      `x-3>0 => x>3 =>` domini, `[3,+\infty)`




2-Donades `f(x)=(2x-1)/(x+1)` i `g(x)=(x^2-1)/(3x)`. Calcula:

    a) Troba: `f+g`, `f·g`, `f/g`, `f(g(x))`, `g(f(x))`.


    • `f+g=(2x-1)/(x+1)+(x^2-1)/(3x)=((2x-1)·3x)/((x+1)·3x)+((x^2-1)·(x+1))/((x+1)·3x)=`


      `(6x^2-3x)/((x+1)·3x)+(x^3+x^2-x-1)/((x+1)·3x)=(x^3+7x^2-4x-1)/(3x^2+3x)`



    • `f·g=(2x-1)/(x+1)·(x^2-1)/(3x)=((2x-1)·(x^2-1))/((x+1)·3x)=(2x^3-x^2-2x+1)/(3x^2-3x)`



    • `f/g=(2x-1)/(x+1):(x^2-1)/(3x)=((2x-1)·3x)/((x+1)·(x^2-1))=(6x^2-3x)/(x^3+x^2-x-1)`



    • `f(g(x))=(2((x^2-1)/(3x))-1)/(((x^2-1)/(3x))+1)=((2x^2-2)/(3x)-(3x)/(3x))/((x^2-1)/(3x)+(3x)/(3x))=((2x^2-3x-2)/(3x))/((x^2+3x-1)/(3x))=(2x^2-3x-2)/(x^2+3x-1)`



    • `g(f(x))=(((2x-1)/(x+1))^2-1)/(3((2x-1)/(x+1)))=(((2x-1)^2)/((x+1)^2)-1)/((6x-3)/(x+1))=(((2x-1)^2)/((x+1)^2)-((x+1)^2)/((x+1)^2))/((6x-3)/(x+1))`



      `=((4x^2-4x+1)/((x+1)^2)-(x^2+2x+1)/((x+1)^2))/((6x-3)/(x+1))=((3x^2-6x)/((x+1)^2))/((6x-3)/(x+1))=((3x^2-6x)/(x+1))/((6x-3)/1)=(3x^2-6x)/((x+1)·(6x-3))`



      `=(3x^2-6x)/((x+1)·(6x-3))=(3x^2-6x)/(6x^2+3x-3)=(3·(x^2-2x))/(3·(2x^2+x-1))=(x^2-2x)/(2x^2+x-1)`


    b) Troba el domini en cada cas dels anteriors


      Per trobar el domini com tot són fraccion algèbriques, quocients de polinomis, només cal recordar que en tots els casos el domini són tots els reals excepte el números que facin que el denominador sigui `0`.

      Per facilitar la solució agafarem l'expressió de cadascuna de les funcions en que el denominador estigui descomposat, fet que facilita resoldre l'equació d'igualar a `0` el denominador.


    • `f+g=(x^3+7x^2-4x-1)/((x+1)·3x)`


      El denominador és `0` quant `x=-1` i `x=0`, per la qual cosa el domini de `f+g`, `R-{-1,0}`



    • `f·g=(2x^3-x^2-2x+1)/((x+1)·3x)`


      El denominador és `0` quant `x=-1` i `x=0`, per la qual cosa el domini de `f·g`, `R-{-1,0}`



    • `f/g=(6x-3x)/((x+1)·(x^2-1))`


      El denominador és `0` quant `x=-1` i `x=1`, per la qual cosa el domini de `f/g`, `R-{-1,1}`



    • `f(g(x))=(2x^2-3x-2)/(x^2+3x-1)`


      Cal igualar el denominador a `0 => x^2+3x-1=0` i

      `x=(-3\pmsqrt(3^2-4·3·(-1)))/2=(-3\pmsqrt(13))/2`,

      que evidentment no té solució en els reals. La qual cosa implica que el domini són tots els `R`.



    • `g(f(x))=(3x^2-2x)/((x+1)·(6x-3))`


      El denominador és `0` quant `x=-1` i `x=3/6=1/2`, per la qual cosa el domini de `f/g`, `R-{-1,1/2}`