Matemàtiques - 1r BAT - 1r BAT. Funcions. Funció contínua en un punt



Anem a estudiar un altre concepte de les funcions, el de continuïtat d'una funció en un punt. Va molt lligat al que acabem d'estudiar sobre els límits. Per ajudar a entendre'l veurem uns gràfics.


`f(x)=sin(x)`



Ara mira el dibuix de la funció del primer exercici de límits:


`f(x)=(x^3-5x^2+6x)/(x^3-3x^2+2x)`



Suposo que hi veureu una gran diferència. `f(x)=sin(x)` és contínua sempre. En canvi, `f(x)=(x^3-5x^2+6x)/(x^3-3x^2+2x)`, té uns quants punts de discontinuïtat. `x=0` (evitable), `x=1` (asimptòtica), `x=2` (evitable)


N'hi ha d'un altre tipus, es diu, discontinuïtat de salt:



Anem a estudiar aquestes discontinuïtats de forma independent.


  • 1-Discontinuïtat evitable

    `f(x)=sin(x-1)/(x-1)`



      Fixeu-vos que per a `x=1` la funció no està definida, ja que, `f(1)=sin(1-1)/(1-1)=0/0`.


      Però tots veieu clar que si calculem el `lim_{x\to 0} sin(x-1)/(x-1)=1` per la qual cosa si definíssim `f(1)=1` la funció deixaria de ser discontínua.


      Com hem pogut donar un valor a `f(1)` de manera que la funció deixi de ser discontínua direm que quan ens trobem amb aquest tipus de discontinuitat en direm, discontinuïtat evitable.




  • 2-Discontinuïtat asimptòtica

    `f(x)=1/(x-2)`



      Fixeu-vos que per a `x=2` la funció no està definida, ja que, `f(1)=1/(x-2)=1/0`.


      Però tots veieu clar que si calculem el `lim_{x\to 2^-} 1/(x-2)=+\infty` i `lim_{x\to 2^+} 1/(x-2)=-\infty`.


      En general quan en un punt el `lim_{x\to a} f(x)=\infty` diem que a `x=a` i ha una asímptota vertical i, `x=a` és la seva equació. Per la qual cosa quan ens trobem amb aquest tipus de discontinuïtat en direm, discontinuïtat asimptòtica.



  • 3-Discontinuïtat de salt

    $$ f(x) = \begin{cases} x+3 &\mbox{si } 0\le x < 0 \\ \\ x^2-2x & \mbox{ si } x \ge 0 \end{cases} $$



      Fixeu-vos que per a `x=0` hi ha una discontinuïtat.


      Però tots veieu clar que si calculem el `lim_{x\to 0^-} f(x)=3` i `lim_{x\to 0^+} f(x)=0`.


      En general quan en un punt el `lim_{x\to a^-} f(x) \neq lim_{x\to a^+} f(x)` ens trobem amb un altre tipus de discontinuïtat que en diem discontinuïtat de salt.


      Aquest tipus de discontinuïtat ens el trobarem amb les funcions definides a trossos en la frontera dels trossos. Per cert no sempre hi ha una discontinuïtat en una frontera d'una funció definida a trossos.





    Funció contínua en un punt




    Per tot el que acabam de veure. Una funció no és continua en un punt si no està definida en aquest punt i tampoc ho és si els límits per la dreta i l'esquerra són diferents. Definirem funció contínua en un punt si es compleixen les següents condicions:


    `f(x)` és contínua en un punt `a <=>`

      1-Existiexi `f(a)`


      2-Existeixi `lim_{x\to a} f(x)` això implica que existeixin els límits per l'esquerra i la dreta i siguin iguals. `lim_{x\to a^-} f(x)=lim_{x\to a^+} f(x)`


      3-Que les dues coses siguin iguals, `lim_{x\to a} f(x)=f(a)`


    Evidentment quan en un punt,`lim_{x\to a} f(x)=\infty` la funció és discontínua (discontinuïtat asimptòtica).



    Exemple: Estudia la continuïtat de la funció:



    Hem de mirar si es dicontínua en algun punt. Com és una funció definida a trossos hem de mirar els punts de discontinuïtat per `x<=0` fent servir la funció, `(x^2-1)/(x^2+2x+1)`.


    Llavors buscar els punts de discontinüitat per `x>0` fent servir al funció `2x^2-1`. I finalment veure què passa en la frontera, o sigui a `x=0`, per la qual cosa caldrà calcular els límits per cada costat, veure si n'hi ha si coincidexien i si coincideixen amb la imatge de `f(0)`.



    1-Continuïtat per `x<=0`.


      Tenim la funció `(x^2-1)/(x^2+2x+1)` que com que és un quocient de polinomis està definida per tots els reals, o sigui és contínua sempre que estigui definida.


      Com és un quocient hem de mirar on val `0` i on passi la funció o estarà definida, per la qual cosa serà discontínua.


      `x^2+2x+1=0 => x=-1`


      Com que és del tros `x<=0`, `f(x)` no està definida en `x=-1`, o sigui segur que és discontínua en `x=-1`. Pels altres nombres `x<=0` la funció és contínua.


      Hem de mirar el tipus de discontinuïtat.


      `lim_{x\to -1}((x-1)·(x+1))/((x+1)^2)=lim_{x\to -1}(x-1)/(x+1)=(-2)/0=\infty`. Això vol dir que a `x=-1` hi ha una discontinuïtat asimptòtica

    2-Continuïtat per `x>0`.


      Tenim la funció `2x^2-1`. És un polinomi i és continua sempre. Per la qual cosa aquesta funció és contínua sempre per els positius, `x>0`.


    3-Continuïtat a la frontera, `x=0`.


      Cal calcular el límit per cada costat i la imatge i veure si coincideixen o no.


      `lim_{x\to 0^-}f(x)=lim_{x\to 0^-}(x^2-1)/(x^2+2x+1)=(-1)/1=-1`



      `lim_{x\to 0^+}f(x)=lim_{x\to 0^+}2x^2-1=-1`


      Com que els dos límits són iguals podem dir sense cap problema que:

      `lim_{x\to 0}f(x)=-1`


      Per trobar `f(0)` cal fer servir la funció, `(x^2-1)/(x^2+2x+1)`, ja que `x=0<=0`.


      `f(0)=(0^2-1)/(0^2+2·0+1)=(-1)/1=-1`


      `lim_{x\to 0}f(x)=-1=f(0=`. Per la qual cosa `f(x)` és contínua en `x=0`.



    Resultat final: `f(x)` és contínua `R-{-1}`. I a `x=-1` hi ha una discontinuïtat asimptòtica.






    A continuació el que cal és fer exercicis al respecte:





    Y hasta aquí puedo leer