Matemàtiques - 1r BAT - 1r BAT. Funcions. Límits a l'infinit


1-Calcula els següents límits.

    a) `lim_{x\to +\infty} (-2x^2+x-3)/(1-x)=``lim_{x\to +\infty} (-2x^2)/(-x)=lim_{x\to +\infty} 2x=2·(+\infty)=+\infty`



    b) `lim_{x\to -\infty} (-2x^2+x-3)/(1-x)=``lim_{x\to +\infty} (-2x^2)/(-x)= lim_{x\to +\infty} 2x=2·(-\infty)=-\infty`



    c) `lim_{x\to +\infty} (root(3){x^4+1}-x)/(root(6){2x^8+x+1})`


    SOLUCIÓ:

      Els graus més grans del numerador i el denominador són:

      `lim(root(3){x^4})/(root(6){2x^8})=lim(root(3){x^4})/(root(6){2}·root(6){x^8})=lim(root(3){x^4})/(root(6){2}·root(3){x^4})=1/(root(6){2})`



    d) `lim_{x\to -\infty} (root(3){x^4+1}-x)/(root(6){2x^8+x+1})`


    SOLUCIÓ:

      Els graus més grans del numerador i el denominador són:

      `lim(root(3){x^4})/(root(6){2x^8})=lim(root(3){x^4})/(root(6){2}·root(6){x^8})=lim(root(3){x^4})/(root(6){2}·root(3){x^4})=1/(root(6){2})`



    e) `lim_{x\to +\infty} (x^3/(x^2-1)-x^2/(x+1))`


    SOLUCIÓ:

      `+\infty-\infty`


      `lim (x^3/(x^2-1)-x^2/(x+1))=lim (x^3/(x^2-1)-(x^2·(x-1))/((x+1)·(x-1)))=lim (x^3/(x^2-1)-(x^3-x^2)/(x^2-1))=`



      `lim x^2/(x^2-1)=1`



    f) `lim_{x\to -\infty} (x^3/(x^2-1)-x^2/(x+1))`


    SOLUCIÓ:

      `(-\infty)/(+\infty)-(+\infty)/(-\infty)=-\infty+\infty=+\infty-\infty`


      `lim (x^3/(x^2-1)-x^2/(x+1))=lim (x^3/(x^2-1)-(x^2·(x-1))/((x+1)·(x-1)))=lim (x^3/(x^2-1)-(x^3-x^2)/(x^2-1))=`



      `lim x^2/(x^2-1)=1`











2-Calcula els següents límits.

    a) `lim_{x\to +\infty} ((2x-1)/(3x+4))^((1+x^2)/x)=`


    SOLUCIÓ:

      `(2/3)^(+\infty)=0`


      Ja que la base de la potència és `<1`.



    b) `lim_{x\to -\infty} ((2x-1)/(3x+4))^((1+x^2)/x)`


    SOLUCIÓ:

      `(2/3)^((+\infty)/(-\infty))=(2/3)^(-\infty)=(3/2)^(+\infty)=+\infty`


      Ja que la base de la potència és `>1`.



    c) `lim_{x\to +\infty} (x-sqrt(x^2-4x))`


    SOLUCIÓ:

      `+\infty-\infty`


      `lim_{x\to +\infty} (x-sqrt(x^2-4x))=lim((x-sqrt(n^2-4x))·(x+sqrt(x^2-4x))/(x+sqrt(x^2-4x)))=lim_{x\to +\infty} ((x^2-(sqrt(x^2-4x))^2)/(x+sqrt(x^2-4x)))=`



      `lim_{x\to +\infty} ((x^2-(x^2-4x))/(x+sqrt(x^2-4x)))=lim_{x\to +\infty} ((x^2-x^2+4x)/(x+sqrt(x^2-4x)))=lim_{x\to +\infty} ((4x)/(x+sqrt(x^2-4x)))=lim_{x\to +\infty} ((4x)/(x+sqrt(x^2)))=lim_{x\to +\infty} ((4x)/(2x))=4/2=2`



    d) `lim_{x\to -\infty} (x-sqrt(x^2-4x))`


    SOLUCIÓ:

      `-\infty-\infty=-\infty`


      Recordeu que quan tenim una arrel quadrada agafem per defecte el resultat positiu.



    e) `lim_{x\to +\infty} ((1+3x)/(4+3x))^x`


    SOLUCIÓ:

      `1^(+\infty)`


      `lim_{x\to +\infty} (1+(1+3x)/(4+3x)-1)^x=lim_{x\to +\infty} (1+(1+3x)/(4+3x)-(4+3x)/(4+3x))^x=lim_{x\to +\infty} (1+(-3)/(4+3x))^x=`



      `lim_{x\to +\infty} (1+1/((4+3x)/(-3)))^x=lim_{x\to +\infty} (1+1/((4+3x)/(-3)))^((4+3x)/(-3)·(-3)/(4+3x)·x)=lim_{x\to +\infty} ((1+1/((4+3x)/(-3)))^((4+3x)/(-3)))^((-3x)/(4+3x))=e^(-1)=1/e`



    f) `lim_{x\to -\infty} ((1+3x)/(4+3x))^x`


    SOLUCIÓ:

      `1^(-\infty)` recordeu que `e=(1+1/a_n)^(a_n)` de manera que `lim_{x\to +\infty}A_n= +\infty` o `lim_{x\to +\infty}A_n= -\infty`


      `lim_{x\to -\infty} (1+(1+3x)/(4+3x)-1)^x=lim_{x\to -\infty} (1+(1+3x)/(4+3x)-(4+3x)/(4+3x))^x=lim_{x\to -\infty} (1+(-3)/(4+3x))^x=`



      `lim_{x\to -\infty} (1+1/((4+3x)/(-3)))^x=lim_{x\to -\infty} (1+1/((4+3x)/(-3)))^((4+3x)/(-3)·(-3)/(4+3x)·x)=lim_{x\to -\infty} ((1+1/((4+3x)/(-3)))^((4+3x)/(-3)))^((-3x)/(4+3x))=e^(-1)=1/e`