PAU Matemàtiques Setembre 2023 Responeu a QUATRE de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què. Cada qüestió val 2,5 punts. Podeu utilitzar calculadora, però no es permet l’ús de calculadores o altres aparells que poden emmagatzemar dades o que poden transmetre o rebre informació. Podeu utilitzar les pàgines en blanc (pàgines 14 i 15) per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a alguna qüestió si necessiteu més espai. En aquest últim cas, cal que ho indiqueu clarament al final de la pàgina de la qüestió corresponent. 1-Siguin $$ A=\begin{pmatrix} 2&1\\\ 3&2 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 2&-1\\\ -3&2 \end{pmatrix} $$ i la matriu identitat d'ordre dos $$ I=\begin{pmatrix} 1&0\\\ 0&1 \end{pmatrix} $$ a) Comproveu que `(A-2I)^2=3I` [0,5 punts] b) Utilitzant la igualtat de l’apartat anterior, trobeu la matriu inversa de la matriu `A` en funció de les matrius `A` i `I`, i comproveu que coincideix amb la matriu `B`. [1,25 punts] c) Calculeu la matriu `X` que satisfà la igualtat `A · X = B`. [0,75 punts] 2-Sigui la funció `f(x)=1/x`. a) Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció `f` en el punt d’abscissa `x = 2`. [0,75 punts] b) Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica de la funció `f` en el punt d’abscissa `x = k`, en què `k` és un nombre real positiu. [0,75 punts] c) Comproveu que, tal com es pot veure en la figura de sota, la recta de l’apartat `b` determina un triangle d’àrea constant amb els semieixos positius de coordenades. Calculeu aquesta àrea. [1 punt] 3-Sigui el sistema d’equacions lineals , en què `m` és un nombre real. $$ \begin{cases} 2x+y=1+z\\ my+z=2-x\\ mz+3=3x+y \end{cases} $$ a) Discutiu el sistema segons els valors del paràmetre `m`. [1,25 punts] b) Resoleu el sistema, si té solució, per al cas `m = 1`. [1,25 punts] 4-Sigui la funció `f(x)` definida per `f(x) = –3x + e^(2x^(3)-1)`. a) Justifiqueu que `f(x) = 2` té una solució en l’interval `(–1, 0)`. [1,25 punts] b) Sigui la funció `h(x) = –3x^2 + e^(2x^(3)–1)`. Calculeu l’àrea de la regió compresa entre les gràfi-ques de les funcions `f(x)` i `h(x)`. [1,25 punts] 5-Siguin `r_1` i `r_2` les rectes definides per `r_1: x – 1 = y = –z` i per `r_2: x = y = z`, respectivament. a) Calculeu l’equació paramètrica de la recta que talla perpendicularment les rectes `r_1` i `r_2`. [1,75 punts] b) Calculeu la distància entre `r_1` i `r_2`. [0,75 punts] 6-Volem construir una peça metà?lica que tingui per secció un trapezi isòsceles amb la base superior tres vegades més llarga que la base inferior. Els altres costats del trapezi fan `10` mm, tal com podeu observar en la figura següent: a) Expresseu l’altura del trapezi en funció de la longitud `x` de la base inferior. [0,5 punts] b) Calculeu la longitud de la base inferior del trapezi de manera que l’àrea de la peça sigui màxima i trobeu el valor d’aquesta àrea màxima. [2 punts]