PAU Matemàtiques juny 2023 Responeu a QUATRE de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què. Cada qüestió val 2,5 punts. Podeu utilitzar calculadora, però no es permet l’ús de calculadores o altres aparells que poden emmagatzemar dades o que poden transmetre o rebre informació. Podeu utilitzar les pàgines en blanc (pàgines 14 i 15) per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a alguna qüestió si necessiteu més espai. En aquest últim cas, cal que ho indiqueu clarament al final de la pàgina de la qüestió corresponent. 1-Calculeu els coeficients `a`, `b`, `c` i `d` de la funció `f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d` si sabem que l’equa- ció de la recta tangent a la gràfica de la funció `f` en el punt d’inflexió `(1, 0)` és `y = –3x + 3` i que la funció té un extrem relatiu en el punt de la gràfica d’abscissa `x = 0`. [2,5 punts] 2-Considereu les dues matrius següents: $$ A=\begin{pmatrix} 2&-3&-5\\\ -1&4&5\\\ 1&-3&-4 \end{pmatrix} B=\begin{pmatrix} 2&2&0\\\ -1&-1&0\\\ 1&2&1 \end{pmatrix} $$ a) Calculeu les matrius `A · B` i `B · A`. [1,5 punts] b) Siguin `C` i `D` dues matrius quadrades del mateix ordre que satisfan `C · D = C` i `D · C = D`. Comproveu que les dues matrius, `C` i `D`, són idempotents. [1 punt] Nota: Una matriu quadrada s’anomena idempotent si coincideix amb el seu quadrat. 3-Sigui la funció derivada d’una funció derivable` f(x)` que passa pel punt `A = (0, 3)`. $$ f'(x)=\begin{cases} x-1 \text{, si } x\le2\\ \\ \frac{1}{x-1} \text{, si } x>2\end{cases} $$ a) Calculeu la funció `f(x)`. [1,5 punts] b-Calculeu l’equació de la recta tangent a la funció `f'(x)` en el punt d’abscissa `x = 3`. [1 punt] 4-Sigui el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real `\lambda`: $$ \begin{cases} x+2\lambda y+(2+\lambda)z=0\\ (2+\lambda)x+y+2\lambda z=3\\ 2\lambda x+(2+\lambda)y+z=-3\end{cases} $$ a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre `\lambda`. [1,25 punts] b-Per al cas `\lambda = –1`, resoleu el sistema, interpreteu-lo geomètricament i identifiqueu-ne la solució. [1,25 punts] 5-La Núria té un jardí rectangular i vol fer-hi un tan-cat (rectangular o quadrat) de `8` `m^2` per al seu gos. Ha pensat de posar el tancat tocant al mur del jardí, tal com es mostra a la figura de la dreta, per estal- viar-se així un dels quatre costats. El preu de la tanca que vol fer servir és de `2,5` €/m. a)Quines dimensions ha de tenir el tancat perquè el cost sigui mínim? Quin és aquest cost mínim? [1,75 punts] b)Si manteniu la forma rectangular o quadrada del tancat i feu que un dels vèrtexs del jardí coincideixi amb un vèrtex del tancat, quants euros us podeu estalviar? Raoneu com posaríeu el tancat i justifiqueu amb càlculs matemàtics les dimensions de la vos-tra proposta. [0,75 punts] 6-Siguin els plans `pi_1` i `pi_2`, determinats respectivament per les equacions `pi_1: x + y = 3` i `pi_2: x – z = –2`. a)Trobeu l’equació general `(Ax + By + Cz + D = 0)` del pla `pi_3`, que és perpendicular a `pi_1` i `pi_2`, i que passa pel punt `P = (4, 1, 2)`. [0,75 punts] b)Sigui `r` la recta d’intersecció de `pi_1` i `pi_2`. Calculeu l’equació vectorial de la recta `r`. [0,75 punts] c)Calculeu el punt `Q` de la recta `r` que és més a prop del punt `P`. [1 punt]