Teorema de Cauchy

Siguin f(x) i g(x) dues funcions contínues en [a , b] i derivables en (a , b). Existeix un punt c que pertany a (a , b) tal que:

Demostració:

La nostra fórmula és equivalent a:

[f(b) - f(a)] · g'(c) = [g(b) - g(a)] · f'(c)

Considerem la funció:

h(x) = [f(b) - f(a)] · g(x) = [g(b) - g(a)] · f(x)

1) És contínua en en [a,b] per ser-ho f(x) i g(x).

2) És derivable en (a,b) per ser-ho f(x) i g(x).

3) h(a) = h(b) ja que:

Calculem h(a):

h(a) = [f(b) - f(a)] · g(a) - [g(b) - g(a)] · f(a) =

Multipliquem:

f(b) · g(a) - f(a) · g(a) -g(b) · f(a) + g(a) · f(a)

Com tenim - f(a) · g(a) + g(a) · f(a) = 0 queda:

f(b) · g(a) - g(b) · f(a)

Calculem h(b):

h(b) = [f(b) - f(a)] · g(b) - [g(b) - g(a)] · f(b) =

Multipliquem:

f(b) · g(b) - f(a) · g(b) -g(b) · f(b) + g(a) · f(b)

Com tenim f(b) · g(b) - g(b) · f(b) = 0 queda

- f(a) · g(b) + g(a) · f(b)

Que si ho canviem d'ordre veiem que és el mateix que h(a).

La derivada de h(x) és(recordem que [f(b) - f(a)] i [g(b) - g(a)] són constants) :

h'(x) = [f(b) - f(a)] · g'(x) - [g(b) - g(a)] · f'(x)

En resum h(x) compleix les condicions del teorema de Rolle que diu que existeix un c de l'interval (a, b) tal que h'(c) = 0

h'(c) = [f(b) - f(a)] · g'(c) - [g(b) - g(a)] · f'(c) = 0

Passem a l'altre costat lo de darrera de la resta i queda:

[f(b) - f(a)] · g(c) = [g(b) - g(a)] · f(c)

Canviem de costat el que multiplica passant a dividir i ens queda: