7-a-Discuteix i resol si té solució (pàg. 228):
$$
\begin{cases}
x-y+z=7\\
x+y-z=3\\
-x+y+z=1
\end{cases}
$$

SOLUCIÓ:

$$\left(\begin{array}{ccc|c}
1&-1&1&7\\
1&1&-1&3\\
-1&1&1&1
\end{array}\right)
$$

Cal calcular el rang de la matriu del sistema. El primer element és `1\ne0` rang `M>=1`:

Calculem el determinant de la matriu `2·2` que orla a aquest element.

$$
\begin{vmatrix}
1&-1\\\
1&1
\end{vmatrix}=1·1-(1·(-1))=1+1=2\ne0 => \text{rang}>=2
$$

Calculem el determinant de la matriu del sistema `3·3`:

$$
\begin{vmatrix}
1&-1&1\\\
1&1&-1\\\
-1&1&1
\end{vmatrix}= 1·1·1+(-1)·(-1)·(-1)+1·1·1-[(-1)·1·1+1·(-1)·1+1·(-1)·1]3+3=6\ne0=>
$$
Rang de la matriu del sistema 3. La matriu ampliada és `3·4 =>` rang no pot ser `>3 =>` Rang ampliada`=3`. Tenim:

Rang M Rang M' n Sistema

3 3 3 Compatible determinat

Solució:


    
Equació inicial:
    
	-x	+y	+z	=	+1
    
	+x	+y	-z	=	+3
    
	+x	-y	+z	=	+7
    

    
Canviat l'ordre de les equacions:	1ª,	2ª.
    
	+x	+y	-z	=	+3
    
	-x	+y	+z	=	+1
    
	+x	-y	+z	=	+7
    

    
Multipliquem la 1ª equació per 1 i ho sumem a la 2ª equació multiplicada per 1 .
    
	+x	+y	-z	=	+3
    
	0x	+2y	0z	=	+4
    
	+x	-y	+z	=	+7
    

    
Multipliquem la 1ª equació per (-1) i ho sumem a la 3ª equació multiplicada per 1 .
    
	+x	+y	-z	=	+3
    
	0x	+2y	0z	=	+4
    
	0x	-2y	+2z	=	+4
    

    
Multipliquem la 2ª equació per 2 i ho sumem a la 3ª equació multiplicada per 2 .
    
	+x	+y	-z	=	+3
    
	0x	+2y	0z	=	+4
    
	0x	0y	+4z	=	+16
    

    
Multipliquem la 3ª equació per 1 i ho sumem a la 1ª equació multiplicada per 4 .
    
	+4x	+4y	0z	=	+28
    
	0x	+2y	0z	=	+4
    
	0x	0y	+4z	=	+16
    

    
Multipliquem la 2ª equació per (-4) i ho sumem a la 1ª equació multiplicada per 2 .
    
	+8x	0y	0z	=	+40
    
	0x	+2y	0z	=	+4
    
	0x	0y	+4z	=	+16
    

    
Dividim cada equació pel coeficient de la seva incògnita.
    
	+x	0y	0z	=	+5
    
	0x	+y	0z	=	+2
    
	0x	0y	+z	=	+4
    

    

    
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINAT.
    

    
Solució: 
    

    
x = +5
    
y = +2
    
z = +4

8-a-Discuteix.

$$
\begin{cases}
2x-y+z=0\\
3x+2y-4z=1\\
x+3y-5z=4
\end{cases}
$$

SOLUCIÓ:

$$\left(\begin{array}{ccc|c}
2&-1&1&0\\
3&2&-4&1\\
1&3&-5&4
\end{array}\right)
$$

Cal calcular el rang de la matriu del sistema. El primer element és `2\ne0` rang `M>=1`:

Calculem el determinant de la matriu `2·2` que orla a aquest element.

$$
\begin{vmatrix}
2&-1\\\
3&2
\end{vmatrix}=2·2-(-1)·3=4+3=7\ne0 => \text{rang}>=2
$$

Calculem el determinant de la matriu del sistema `3·3`:

$$
\begin{vmatrix}
2&-1&1\\\
3&2&-4\\\
1&3&-5
\end{vmatrix}=
$$
`2·2·(-5)+(-1)·(-4)·1+3·3·1-[1·2·1+2·3·(-4)+3·(-1)·(-5)]=0=>`

Rang de la matriu del sistema 2.

Per calcular el rang de la matriu ampliada calculem del determinant de:

$$
\begin{vmatrix}
2&-1&0\\\
3&2&1\\\
1&3&4
\end{vmatrix}=
$$
`2·2·4+(-1)·1·1+3·3·0-[1·2·0+2·3·1+3·(-1)·4] =21\ne 0 =>` rang matriu ampliada és 3


Rang M Rang M' n Sistema

2 3 3 Incompatible



El problema no ho demana, però que hagués passat si l'haguessim resolt, per exemple, per Gauss:

    
Equació inicial:
    
	+x	+3y	-5z	=	+4
    
	+3x	+2y	-4z	=	+1
    
	+2x	-y	+z	=	0
    

    
Multipliquem la 1ª equació per (-3) i ho sumem a la 2ª equació multiplicada per 1 .
    
	+x	+3y	-5z	=	+4
    
	0x	-7y	+11z	=	-11
    
	+2x	-y	+z	=	0
    

    
Multipliquem la 1ª equació per (-2) i ho sumem a la 3ª equació multiplicada per 1 .
    
	+x	+3y	-5z	=	+4
    
	0x	-7y	+11z	=	-11
    
	0x	-7y	+11z	=	-8
    

    
Multipliquem la 2ª equació per 7 i ho sumem a la 3ª equació multiplicada per (-7) .
    
	+x	+3y	-5z	=	+4
    
	0x	-7y	+11z	=	-11
    
	0x	0y	0z	=	-21
    

    
La 3ª equació té una contradicció. El sistema no té solucions. SISTEMA INCOMPATIBLE.

23-(pàg 241) L'edat d'en Pere és el doble que la Maria. fa 7 anys la suma de les edats era igual a l'edat actual d'en Pere. Troba les dues edats.


SOLUCIÓ:

      x = edat d'en Pere
      y = edat de la Maria


    $$
    \begin{cases}
    x=2y\\
    x-7 + y-7 = x
    \end{cases}
    $$
    \begin{cases}
    x=2y\\
    y=14
    \end{cases}
    $$
    \begin{cases}
    x=28\\
    y=14
    \end{cases}
    $$

21-La suma de les edats de tres persones és 100 anys. Troba l'edat de cadascuna d'elles si saps que la del mig té 10 anys més que la més petita, i que la més gran té tans anys com les altres dues juntes.

SOLUCIÓ:

      x = edat petita
      y = edat del mig
      z = edat gran


    \begin{cases}
    x+y+z=100\\
    y=x+10\\
    z=x+y
    \end{cases}
    Per substitució seria molt més fàcil, però ho faig per Gauss per que en veieu més.
    \begin{cases}
    x+y+z=100\\
    -x+y=10\\
    -x-y+z=0
    \end{cases}

      
Equació inicial:
      
	-x	-y	+z	=	0
      
	-x	+y	0z	=	+10
      
	+x	+y	+z	=	+100
      

      
Canviat l'ordre de les equacions:	1ª,	3ª.
      
	+x	+y	+z	=	+100
      
	-x	+y	0z	=	+10
      
	-x	-y	+z	=	0
      

      
Multipliquem la 1ª equació per 1 i ho sumem a la 2ª equació multiplicada per 1 .
      
	+x	+y	+z	=	+100
      
	0x	+2y	+z	=	+110
      
	-x	-y	+z	=	0
      

      
Multipliquem la 1ª equació per 1 i ho sumem a la 3ª equació multiplicada per 1 .
      
	+x	+y	+z	=	+100
      
	0x	+2y	+z	=	+110
      
	0x	0y	+2z	=	+100
      

      
Multipliquem la 3ª equació per (-1) i ho sumem a la 2ª equació multiplicada per 2 .
      
	+x	+y	+z	=	+100
      
	0x	+4y	0z	=	+120
      
	0x	0y	+2z	=	+100
      

      
Multipliquem la 3ª equació per (-1) i ho sumem a la 1ª equació multiplicada per 2 .
      
	+2x	+2y	0z	=	+100
      
	0x	+4y	0z	=	+120
      
	0x	0y	+2z	=	+100
      

      
Multipliquem la 2ª equació per (-2) i ho sumem a la 1ª equació multiplicada per 4 .
      
	+8x	0y	0z	=	+160
      
	0x	+4y	0z	=	+120
      
	0x	0y	+2z	=	+100
      

      
Dividim cada equació pel coeficient de la seva incògnita.
      
	+x	0y	0z	=	+20
      
	0x	+y	0z	=	+30
      
	0x	0y	+z	=	+50
      

      
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINAT.
      

      
Solució: 
      
x = +20
      
y = +30
      
z = +50


Per substitució:

\begin{cases}
x+y+z=100\\
y=x+10\\
z=x+y
\end{cases}

\begin{cases}
x+y+z=100\\
y=x+10\\
z=x+x+10 = 2x+10
\end{cases}

`x+x+10+2x+10=100`

`4x=80`

`x=20`

`y=x+10=20+10=30`

`z=2x+10=2·20+10=50`

\begin{cases}
x=20\\
y=30\\
z=50
\end{cases}
22-(pàg 241) En un nombre de 3 xifres la suma d'aquests val 10. La xifra de les desenes és 3, i quan s'inverteix l'ordre d'aquestes xifres s'obté un altre nombre que exedeix el primer en 495 unitgats. Troba aquest nombre.


SOLUCIÓ:

Recordem què vol dir un nombre de 3 xifres i el nombre que resulta d'invertir l'ordre. Siposem el nombre 347, el nombre invertit és el 743.

I 347 vol dir, 3·100+4·10+7. Per la qual cosa si d'un nombre desconeixem les seves 3 xifres, i aquestes són x, y i z. El nombre s'esciuria:

`100x+10y+z` i el nombre invertit `100z+10y+x`. I ara ja podem plantejar l'equació.

\begin{cases}
x+y+z=10\\
y=3\\
100x+10y+z+495=100z+10y+x
\end{cases}

Si substituim la `y=3` ens queda un sistema de dos equacions amb dues incògnites:

\begin{cases}
x+3+z=10\\
100x+30+z+495=100z+30+x
\end{cases}
\begin{cases}
x+z=7\\
99x-99z=-495
\end{cases}
Podem fer una reducció, de les de sempre, multiplicant per `99` la primera equació.
\begin{cases}
99x+99z=693\\
99x-99z=-495
\end{cases}
\begin{cases}
198x=198\\
x=1\\
1+z=7\\
z=6
\end{cases}
\begin{cases}
x=1\\
y=3\\
z=6
\end{cases}

Per la qual cosa el nombre buscat és el `136`