1-Donada la Matriu. $$ A=\begin{pmatrix} 0 & 3 & 4\\\ 1 & -4 & -5\\\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} $$ a) Prova que `A^3+Id=O` b) Utilitza la igualtat anterior per trobar que `A^(-1)` i `A^10`. a- $$ A^2=\begin{pmatrix}0 & 3 & 4\\\ 1 & -4 & -5\\-1 & 3 & 4\end{pmatrix} · \begin{pmatrix}0 & 3 & 4\\\ 1 & -4 & -5\\-1 & 3 & 4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-1 & 0 & 1\\1 & 4 & 4\\-1 & -3 & -3\end{pmatrix} $$ $$ A^3=A^2·A=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 1\\\ 1 & 4 & 4\\-1 & -3 & -3\end{pmatrix} · \begin{pmatrix}0 & 3 & 4\\\ 1 & -4 & -5\\-1 & 3 & 4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0 & 0 & -1\end{pmatrix} $$ $$ A^3+Id= \begin{pmatrix}-1 & 0 & 0\\\ 0 & -1 & 0\\0 & 0 & -1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\\ 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix} $$ b- `A^3+Id=0` `Id=-A^3` `-A^2·A=A^(-1)·A` `A^(-1)=-A^2` $$ A^{-1}= \begin{pmatrix}1 & 0 & -1\\-1 & -4 & -4\\1 & 3 & 3\end{pmatrix} $$ `A^(10)=A^3·A^3·A^3·A= (-Id) · (-Id) · (-Id) · A = -A`