2-Discuteix i resol tots els casos que siguin compatibles indeterminats en funció de : `\lambda` $$ \begin{cases} \lambda x+y-3z=1\\ 4x+(\lambda-1)y-z=\lambda\\ \lambda x-y+7z=1 \end{cases} $$ Matriu ampliada del sistema: $$ \begin{pmatrix}\lambda & 1 & -3 & 1\\4 & (\lambda-1) & -1 & \lambda\\ \lambda & -1 & 7 & 1\end{pmatrix} $$ Calcularem el determinant de la matriu del sistema i mirarem quan val `0` $$ \begin{vmatrix}\lambda & 1 & -3 \\4 & (\lambda-1) & -1 \\ \lambda & -1 & 7 \end{vmatrix}=10\lambda^2-12\lambda-16=0 $$ `10\lambda^2-12\lambda-16=5\lambda^2-6\lambda-8=0` `\lambda = (6\pmsqrt(6^2-4·5·(-8)))/(2·5) = (6\pmsqrt(36+160))/10 = (6\pmsqrt(196))/10 = (6\pm14)/10` $$ \begin{cases} \lambda_1 = 2\\ \lambda_2= \frac{-4}{5}\end{cases} $$ Quan `\lambda \ne` a `2` i `-4/5` el rang de la matriu del sistema és, `3`, el de l'ampliada també, `3`, i el número d'incògnites també, `3`,` =>` Sistema Compatible Determinat. Cal estudiar què passa quan `\lambda=2` i quan `\lambda=-4/5`. i- `\lambda=2` $$ \begin{pmatrix}2 & 1 & -3 & 1\\4 & 1 & -1 & 2\\ 2 & -1 & 7 & 1\end{pmatrix} $$ Calculem el rang de la matriu ampliada, per fer-ho només, ja que,. $$ \begin{vmatrix}2 & 1 \\4 & 1\end{vmatrix}=2-4=-2\ne0 $$ cal calcular el determinant: $$ \begin{vmatrix}2 & 1 & 1\\4 & 1 & 2\\ 2 & -1 & 1\end{vmatrix}=2+4-4-(2-4+4)=0 $$ La qual cosa fa que el rang de la matriu ampliada sigui `2`. Si `\lambda=2`, `R=2`, `R'=2`, `n=3`, Sistema Compatible Indeterminat ii- `\lambda=-4/5` $$ \begin{pmatrix}\frac{-4}{5} & 1 & -3 & 1\\4 & \frac{-9}{5} & -1 & \frac{-4}{5}\\ \frac{-4}{5} & -1 & 7 & 1\end{pmatrix} $$ Calculem el rang de la matriu ampliada, per fer-ho només, ja que,. $$ \begin{vmatrix}\frac{-4}{5} & 1 \\4 & \frac{-9}{5}\end{vmatrix}=\frac{-4}{5}·\frac{-9}{5}-4=\frac{36}{5}-20\ne0 $$ cal calcular el determinant: $$ \begin{vmatrix}\frac{-4}{5} & 1 & 1\\4 & \frac{-9}{5} & \frac{-4}{5}\\ \frac{-4}{5} & -1 & 1\end{vmatrix}=\frac{-168}{25}\ne0 $$ La qual cosa fa que el rang de la matriu ampliada sigui `3`. Si `\lambda=2`, `R=2`, `R'=3`, `n=3`, Sistema Incompatible, ja que els rangs són diferents. Cal resoldre el cas `\lambda=2`, ja que és compatible indeterminat. $$ \begin{cases} 2 x+y-3z=1\\ 4x+y-z=2\\ 2x-y+7z=1\end{cases} $$ $$ \begin{cases} 2 x+y-3z=1\\ -y+5z=0\\ -2y+10z=0\end{cases} $$ $$ \begin{cases} 2 x+y-3z=1\\ -y+5z=0\\ z=\mu\end{cases} $$ $$ \begin{cases} x=-\mu+ \frac{1}{2}\\ y=5\mu\\ z=\mu\end{cases} $$ Si volem trobar les solucions per tots els casos que sigui compatible determinat, podem fer-ho mitjançant la regla de Cramer: $$ x=\frac{\begin{vmatrix}1 & 1 & -3\\\lambda & \lambda-1 & -1\\1 & -1 & 7\end{vmatrix}}{10\lambda^2-12\lambda-16}=\frac{6\lambda-12}{10\lambda^2-12\lambda-16}=\frac{6(\lambda-2)}{(2\lambda-2)(5\lambda+4)}=\frac{3}{(5\lambda+4)} $$ $$ y=\frac{\begin{vmatrix}\lambda & 1 & -3\\4 & \lambda & -1\\\lambda & 1 & 7\end{vmatrix}}{10\lambda^2-12\lambda-16}=\frac{10\lambda^2-40}{10\lambda^2-12\lambda-16}=\frac{10(\lambda-2)(\lambda+2)}{2(\lambda-2)(5\lambda+4)}=\frac{5(\lambda+2)}{(5\lambda+4)} $$ $$ z=\frac{\begin{vmatrix}\lambda & 1 & 1\\4 & \lambda-1 & \lambda\\\lambda & -1 & 1\end{vmatrix}}{10\lambda^2-12\lambda-16}=\frac{2\lambda^2-8}{10\lambda^2-12\lambda-16}=\frac{2(\lambda-2)(\lambda+2)}{2(\lambda-2)(5\lambda+4)}=\frac{(\lambda+2)}{(5\lambda+4)} $$ `\forall` `\lambda` `\epsilon` `R` `\setminus` `\lambda\ne2` `i` `\lambda\ne -4/5`