3-a) Siguin les matrius: $$ A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 0\\0 & 2 & -1\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}2 & 1\\2 & 2\end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix}1 & -2\\0 & 2\\-2 & 0\end{pmatrix} $$ Resol l'equació: `BX-A=C^T` b) Siguin les matrius: $$ A=\begin{pmatrix}2 & -1\\-4 & 2\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}3 & -2\\-6 & 4\end{pmatrix} $$ Resol l'equació matricial: `A·X=B` a- A la matriu cercada `X` la posarem (ha de ser `2`x`3`). Recorda que `C^T` vol dir la transposada de `C`. $$ X=\begin{pmatrix}x & z & v\\y & t & w\end{pmatrix} $$ $$ \begin{pmatrix}2 & 1\\2 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x & z & v\\y & t & w\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2 & -1 & 0\\0 & 2 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & -2\\-2 & 2 & 0\end{pmatrix} $$ $$ \begin{pmatrix}2x+y & 2z+t & 2v+w\\2x+2y & 2z+2t & 2v+2w\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2 & -1 & 0\\0 & 2 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & -2\\-2 & 2 & 0\end{pmatrix} $$ $$ \begin{pmatrix}2x+y-2 & 2z+t+1 & 2v+w\\2x+2y & 2z+2t-2 & 2v+2w+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & -2\\-2 & 2 & 0\end{pmatrix} $$ D'aquí surten tres sistemes de dos equacions amb dues incògnites totalment desacoblats. Els resoldrem de forma independent. $$ \begin{cases}2x+y-2=1\\2x+2y=-2\end{cases}\begin{cases}2x+y=3\\2x+2y=-2\end{cases}\begin{cases}x=4\\y=-5\end{cases} $$ $$ \begin{cases}2z+t+1=0\\2z+2t-2=2\end{cases}\begin{cases}2z+t=-1\\2z+2t=4\end{cases}\begin{cases}z=-3\\t=5\end{cases} $$ $$ \begin{cases}2v+w=-2\\2v+2w+1=0\end{cases}\begin{cases}2v+w=-2\\2v+2w=-1\end{cases}\begin{cases}v=\frac{-3}{1}\\w=1\end{cases} $$ Finalment la matriu cercada és: $$ X=\begin{pmatrix}4 & -3 & \frac{-3}{2}\\-5 & 5 & 1\end{pmatrix} $$ b- $$ \begin{pmatrix}2 & -1\\-4 & 2\end{pmatrix}·\begin{pmatrix}x & y\\z & t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & -2\\-6 & 4\end{pmatrix} $$ $$ \begin{pmatrix}2x-z & 2y-t\\-4x+2z & -4y+2t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & -2\\-6 & 4\end{pmatrix} $$ Ens queden dos sistemes de dos equacions amb dues incògnites totalment desacoblats. 1- Sistema 1. $$ \begin{cases}2x-z=3\\-4x+2z=-6\end{cases} $$ La segona equació és la primera multiplicada per `-2`, per la qual cosa sobra una equació i tenim un sistema compatible indeterminat $$ \begin{cases}2x-z=3\\z=\mu\end{cases} $$ $$ \begin{cases}x=\frac{3}{2}+\frac{\mu}{2}\\z=\mu\end{cases} $$ 2- Sistema 2. $$ \begin{cases}2y-t=-2\\-4y+2t=4\end{cases} $$ La segona equació és la primera multiplicada per `-2`, per la qual cosa sobra una equació i tenim un sistema compatible indeterminat $$ \begin{cases}2y-t=-2\\t=\lambda\end{cases} $$ $$ \begin{cases}y=-1+\frac{\lambda}{2}\\t=\lambda\end{cases} $$ Finalment la matriu cercada és: $$ X=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}+\frac{\mu}{2} & -1+\frac{\lambda}{2}\\\mu & \lambda\end{pmatrix} $$