|
4- Classifica el sistema utilitzant el teorema de Rouche i, si és compatible, troba'n les solucions: \begin{cases}x+2z-3=0\\ 3x+y+z=-1\\ 2y-z+2=0\\ x+y-2z+5=0\end{cases}
\begin{cases}x+2z=3\\ 3x+y+z=-1\\ 2y-z=-2\\ x+y-2z=-5\end{cases} Matriu ampliada del sistema: $$ \begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 3\\3 & 1 & 1 & -1\\0 & 2 & -1 & -2\\1 & 1 & -2 & -5\end{pmatrix} $$ Calculem un determinant `3x3` de la matriu del sistema: $$ \begin{vmatrix}1 & 0 & 2\\3 & 1 & 1\\0 & 2 & -1\end{vmatrix}=-1+0+12-(0+2+0)=9\ne0 $$ Com que el determinant d'una matriu `3x3` del sistema dona diferent de `0 =>` que el rang de la matriu del sistema és `3`. Si afegim una altra equació, com que la matriu del sistema és d'ordre `4x3` no pot tenir rang més gran que `3`. Anem a calcular el rang de la matriu ampliada, com a mínim és `3`, pot ser 4 ja que la matriu ampliada és d'ordre, `4x4`. Càlcul del DETERMINANT. |+1 0 +2 +3| |+3 +1 +1 -1| | 0 +2 -1 -2| |+1 +1 -2 -5| Multipliquem la 1ª fila per (-3) i ho sumem a la 2ª fila. |+1 0 +2 +3| | 0 +1 -5 -10| | 0 +2 -1 -2| |+1 +1 -2 -5| Multipliquem la 1ª fila per (-1) i ho sumem a la 4ª fila. |+1 0 +2 +3| | 0 +1 -5 -10| | 0 +2 -1 -2| | 0 +1 -4 -8| Multipliquem la 2ª fila per (-2) i ho sumem a la 3ª fila. |+1 0 +2 +3| | 0 +1 -5 -10| | 0 0 +9 +18| | 0 +1 -4 -8| Multipliquem la 2ª fila per (-1) i ho sumem a la 4ª fila. |+1 0 +2 +3| | 0 +1 -5 -10| | 0 0 +9 +18| | 0 0 +1 +2| Multipliquem la 3ª fila per (-1) i ho sumem a la 4ª fila multiplicada per 9 . El determinant queda multiplicat per: 9 . |+1 0 +2 +3| | 0 +1 -5 -10| | 0 0 +9 +18| | 0 0 0 0| La 4ª fila està formada tota per 0. El determinant val: 0. Acabem de veure que `R=3`, `R'=3`, `n=3` sistema compatible i determinat, podem resoldre'l tenim en compte que sobra una equació. \begin{cases}x+2z=3\\ 2y-z=-2\\ x+y-2z=-5\end{cases} \begin{cases}x+2z=3\\ 2y-z=-2\\ -y+4z=8\end{cases} \begin{cases}x+2z=3\\ 2y-z=-2\\ z=2\end{cases} \begin{cases}x=-1\\ y=0\\ z=2\end{cases} |