1- Calcula les següents integrals:
 a) \int x/\sqrt{3-2x^2} dx b) \int (3x+4)/(x^2-5x+6)dx

 c) \int xln^2(x) dx

SOLUCIÓ:

a) \int (x dx)/\sqrt{3-2x^2} = (-1)/4\int dt/\sqrt{t} dx = (-1)/4\int t^(-1/2) dx = (-1)/4t^(1/2)/(1/2) = (-1)/2\sqrt{t} = (-1)/2\sqrt{3-2x^2}+C

3-2x^2=t => -4xdx = dt => xdx=(-dt)/4

b)  \int (3x+4)/(x^2-5x+6)dx

(3x+4)/(x^2-5x+6) = (3x+4)/((x-2)·(x-3))=A/(x-2)+B/(x-3) =

(Ax-3A+Bx-2B)/(x^2-5x+6) = ((A+B)x-3A-2B)/(x^2-5x+6) =

$$\begin{cases}A+B=3\\ -3A-2B=4\end{cases}$$
$$\begin{cases}A=-10\\ B=13\end{cases}$$

(3x+4)/(x^2-5x+6) = (3x+4)/((x-2)·(x-3))=-10/(x-2)+13/(x-3)

 \int (3x+4)/(x^2-5x+6)dx=\int -10/(x-2)+13/(x-3) dx=-10ln(x-2)+13ln(x-3)+C

c) \int xln^2(x) dx Farem parts dues vegades.

\int f'g = fg -\int fg'

f'=x => f=x^2/2

g=ln^2(x) => g'=(2ln(x))/x

\int xln^2(x) dx=x^2/2ln^2(x)-\int x^2/2·2ln(x)/x dx = x^2/2ln^2(x)-\int x·ln(x) dx = *

\int x·ln(x) dx

\int f'g = fg -\int fg'

f'=x => f=x^2/2

g=ln(x) => g'=1/x

\int x·ln(x) dx = x^2/2ln(x)-\int x^2/2·1/x dx = (x^2ln(x))/2-\int x/2 dx= (x^2ln(x))/2-x^2/4

* = (x^2ln^2(x))/2-\int x·ln(x) dx =(x^2ln^2(x))/2-[(x^2ln(x))/2-x^2/4]=(x^2ln^2(x))/2-(x^2ln(x))/2+x^2/4+C

2- Troba l'ŕrea compresa entre les funcions f(x) = x^2 i g(x) = x^3 a l'interval [0; 2].

SOLUCIÓ:

Primer cal trobar els punts de tall entre les dues funcions,

x^3=x^2 => x^3-x^2=0 => x^2(x-1) => x_1=0 i 
x_2=1

Per la qual cosa calcularem el valor absolut de les integrals definides entre 0 i 1 i 1 i 2 de la diferčncia entre les dues funcions.

|\int_0^1 (x^3-x^2) dx|+ |\int_1^2 (x^3-x^2) dx|=|[x^4/4-x^3/3]_0^1| + |[x^4/4-x^3/3]_1^2|=

|(1/4-1/3)-(0/4-0/3)|+|(2^4/4-2^3/3)-(1/4-1/3)|=|1/4-1/3|+|(16/4-8/3)-(1/4-1/3)|=

|3/12-4/12| + |16/4-8/3-1/4+1/3|= |-1/4|+|48/12-32/12-3/12+4/12|=

1/4+|17/12|=3/12+17/12=18/12=1'5u^2

3-
Calcula p (p > 0) per tal que la regió determinada per la grŕfica de f(x) = xe^(3x), l'eix OX i les rectes verticals x = 0 i  x = p sigui 1/9 u^2.

SOLUCIÓ:

Primer calcularem la integral indefinida per canvi de variable.

\int xe^(3x) dx

\int f'g = fg -\int fg'

f'=e^(3x) => f=e^(3x)/3

g=x => g'=1

\int xe^(3x) dx = xe^(3x)/3 - \int e^(3x)/3·1 dx = (xe^(3x))/3 - \int e^(3x)/3 dx= (xe^(3x))/3 - e^(3x)/9= e^(3x)/9(3x-1)

\int_0^p xe^(3x) dx = 1/9[e^(3x)(3x-1)]_0^p = 1/9[e^(3p)(3p-1)-e^(3·0)(3·0-1)] = 1/9

[e^(3p)(3p-1)-e^(3·0)(3·0-1)] = e^(3p)(3p-1)+ 1 = 1

e^(3p)(3p-1) = 0 => 3p-1=0 => p=1/3

4- Troba el volum del cos de revolució que s'obté al fer girar sobre l'eix OX la part positiva de la funció f(x) = -x^2 + x + 2.

NOTA: Per trobar el volum de revolució d'una funció f(x) entre x=a i x=b cal calcular la integral definida \int_a^b \pi f^2(x) dx

SOLUCIÓ:

Per trobar la part positiva de la funció i tenint en compte que es tracta d'una funció de segon grau amb les branques cap avall, ja que el quoeficient de x^2 és negatiu, 2, cal trobar els punts de tall amb l'eix de les x.

-x^2+x+2=0

x=(-1\pmsqrt(1^2 - 4·(-1)·2))/(2·(-1))=(-1\pmsqrt(9))/(-2) = (-1\pm3)/(-2) => x_1= -1 i x_2=2

Per la qual cosa per trobar el volum de revolució cal calcular:

\int_-1^2 \pi (-x^2+x+2)^2 dx=\int_-1^2 \pi (x^4-2x^3-3x^2+4x+4) dx =

\pi[x^5/5-(2x^4)/4-(3x^3)/3+(4x^2)/2+4x]_-1^2 = \pi[x^5/5-x^4/2-x^3+2x^2+4x]_-1^2=

\pi[(2^5/5-2^4/2-2^3+2·2^2+4·2)-((-1)^5/5-(-1)^4/2-(-1)^3+2(-1)^2+4·(-1))]=

\pi[(32/5-8-8+8+8)-((-1)/5-1/2+1+2-4)]=

\pi[32/5+1/5+1/2+1]= \pi[64/10+2/10+5/10+10/10]=81/10\pi u^3