4- Calcula les integrals següents: a) \int_-1 ^1 (-x)/(x^2+1) dx b) \int_0 ^2 (2-3x)^5 dx c) \int_2^4 3/(1-x) dx d) \int_0 ^1 x/(1+x^4) dx SOLUCIÓ: a) \int (-xdx)/(x^2+1)=\int (-dt)/(2t)=-1/2ln t=-1/2ln(x^2+1)  x^2+1=t => 2xdx=dt => xdx=dt/2 \int_-1 ^1 (-x)/(x^2+1) dx=[-1/2ln(x^2+1)]_-1^1=-1/2[ln(1^2+1)-ln(1^2+1)]=-1/2[ln(2)-ln(2)]=0 -1/2ln(4/2)=-1/2ln(2)=ln\sqrt{1/2} b) \int (2-3x)^5 dx=\int t^5 (-dt)/3=-1/3\int t^5 dt=-1/3t^6/6=(-t^6)/18=(-(2-3x)^6)/18 (2-3x)=t => -3dx=dt => dx=-dt/3 \int_0 ^2 (2-3x)^5 dx=[(-(2-3x)^6)/18]_0^2=(-(2-6)^6)/18-(-(2-0)^6)/18=-(-4)^6/18+2^6/18 = -224 c) \int_2^4 3/(1-x) dx=[-3ln|1-x|]_2^4=-3[ln(3)-ln(1)]=-3ln(3) Hi posem valor absolut, ln|1-x|, si no, no tindria sentit, ja que hi haurien logaritmes de nombres negatius. Això no ho demana l'exercici. d) \int (x dx)/(1+x^4)=\int dt/(2(1+t^2))=1/2\int dt/(1+t^2)=1/2 arctan(t)=1/2arctan(x^2) x^2=t => 2x=dt => x=dt/2 \int_0 ^1 x/(1+x^4) dx=1/2[arctan(x^2)]0_^1=1/2[arctan(1^2)-arctan(0^2)]= 1/2[arctan(1)-arctan(0)]=1/2(\pi/4-0)=\pi/8 5- Calcula: \int_-2 ^1 x^2e^xdx. Per trobar una primitiva cal aplicar el mètode d'integració per parts dues vegades. SOLUCIÓ: \int x^2e^xdx \int f'g = fg-\int fg' f'=e^x => f=e^x g=x^2 => g'=2x \int x^2e^xdx=x^2e^x -\int2xe^xdx =>x^2e^x -2\intxe^xdx \int xe^xdx \int f'g = fg-\int fg' f'=e^x => f=e^x g=x => g'=1 \intxe^xdx=xe^x-\int e^xdx=xe^x- e^x \int x^2e^xdx=x^2e^x -\int2xe^xdx =>x^2e^x -2\intxe^xdx=x^2e^x -2(xe^x- e^x)=(x^2 -2x+2)e^x \int_-2^1 x^2e^xdx=[(x^2 -2x+2)e^x]_-2^1=(1^2 -2·1+2)e^1-((-2)^2 -2(-2)+2)e^(-2)=e-10/e^2 6- Troba una primitiva de la funció x^3/(x-2) i calcula la integral d'aquesta funció en l'interval [3,5]. SOLUCIÓ \int x^3/(x-2)dx Dividim numerador per denominador, podem fer-ho per Ruffini:  | 1 0 0 0 | 2 | 2 4 8 -----+--------------- 1 2 4 8  x^3/(x-2)= x^2+2x+4 + 8/(x-2) \int x^3/(x-2)dx=\int (x^2+2x+4 + 8/(x-2))dx=x^3/3+x^2+4x-8ln|x-2| \int_3^5 x^3/(x-2)dx=[x^3/3+x^2+4x-8ln|x-2|]_3^5= (5^3/3+5^2+4·5-8ln|5-2|)-(3^3/3+3^2+4·3-8ln|3-2|)= (125/3+25+20-8ln(3))-(9+9+12-8ln(1))= (125/3+45-8ln|3|)-(30-8·0)= 125/3+15-8ln(3)=170/3-8ln(3) 7- Calcula \int_0^2\sqrt{4-x^2}dx utilitzant el canvi de variable: x=2sin(t) SOLUCIÓ: \int\sqrt{4-x^2}dx x=2sin(t) => dx=2cos(t)dt \int \sqrt{4-x^2}dx=\int \sqrt{4-4sin^2(t)}·2cos(t)dt=2\int \sqrt{4(1-sin^2(t))}·cos(t)dt= 4\int \sqrt{1-sin^2(t)}·cos(t)dt=4\int cos(t)·cos(t)dt=4\int cos^2(t)dt=* Aquesta integral es pot calcular amb una de les fórmules de trigonometria de l'any passat, cos^2(t) = (1+cos(2t))/2 o per parts. Aquí teniu la demostració. Que és: \int cos^2tdt=1/2(sin(t)cos(t)+t) *=4\int cos^2(t)dt=4·1/2(sin(t)cos(t)+t)=2[sin(t)cos(t)+t]=** x=2sin(t) => sin(t)=x/2 => cos(t)=\sqrt{1-sin^2(t)}=\sqrt{1-x^2/4} i t=arcsin(x/2) **2[sin(t)cos(t)+t]=2[x/2·\sqrt{1-x^2/4}+arcsin(x/2)]= 2[x/2·\sqrt{4/4-x^2/4}+arcsin(x)]=2[x/4·\sqrt{4-x^2}+arcsin(x/2)] Finalment recordar que el que estem intentant calcular és: \int_0^2\sqrt{4-x^2}dx=2[(x/4·\sqrt{4-x^2}+arcsin(x/2))]_0^2= 2[(2/4·\sqrt{4-2^2}+arcsin(2/2))-(0/4·\sqrt{4-0^2}+arcsin(0/2))]= 2[(0+arcsin(1))-(0+arcsin(0))]=2[\pi/2-0]=\pi