Problema 4-Considera l’experiment següent: tirem un dau equilibrat i, a continuació, tirem tantes monedes (equilibrades també) com indiqui el resultat del dau. a) Calcula la probabilitat que obtinguem exactament `3` cares. b) Calcula la probabilitat que obtinguem exactament `3` cares sabent que el resultat del dau ha estat un nombre parell. c) Calcula la probabilitat que obtinguem exactament `3` cares sabent que la primera moneda ha donat creu. Solució: a) Entenem la paraula exactament com sortir tres cares i les creus que siguin. Per la qual cosa això podrà ser si el dau surt: `3,4,5,6`. Caldrà calcular les quatre probabilitats i sumar-les, `P(` hagi sortit un `3 \cap` surtin `3` cares`)=P (` hagi sortit un `3)·P(`surtin `3` cares `|`hagi sortit un `3)` `P(` hagi sortit un `4 \cap` surtin `3` cares`)=P (` hagi sortit un `4)·P(`surtin `3` cares `|`hagi sortit un `4)` `P(` hagi sortit un `5 \cap` surtin `3` cares`)=P (` hagi sortit un `5)·P(`surtin `3` cares `|`hagi sortit un `5)` `P(` hagi sortit un `6 \cap` surtin `3` cares`)=P (` hagi sortit un `6)·P(`surtin `3` cares `|`hagi sortit un `6)` La probabilitat de que surti un `3,4,5` o `6`, és `1/6` (per cadascuna). Les altres probabilitats són de la binomial, en el primer cas de tres monedes surtin `3` cares: $$P_3(3)= {3 \choose 3}(1/2)^3·(1/2)^0=(1/2)^3=1/8$$ Cas de `4` monedes surtin `3` cares: $$P_4(3)= {4 \choose 3}(1/2)^3·(1/2)^1=4·(1/2)^4=4/16$$ Cas de `5` monedes surtin `3` cares: $$P_5(3)= {5 \choose 3}(1/2)^3·(1/2)^2=10·(1/2)^5=10/32$$ Cas de `6` monedes surtin `3` cares: $$P_6(3)= {6 \choose 3}(1/2)^3·(1/2)^3=20·(1/2)^5=20/64$$ Cal multiplicar això per `1/6` i sumar-ho. `P(3` cares`)``=1/6(1/8+4/16+10/32+20/64)=1/6(8/64+16/64+20/64+20/64)=1/6` b) Una manera de calcular això seria, sabem que ha sortit parell, vol dir que ha sortit un `2` o un `4` o un `6` cadascun d'ells amb una probabilitat de `1/3` (tres resultats possibles) si ho multipliquem per la probabilitat de que surtin `3` cares i ho sumem tindrem la probabilitat cercada. Que surtin `3` cares amb dues tirades és impossible per la qual cosa la probabilitat primera és `0`. En el cas de que surti `4` o `6` ho hem calculat en l'apartat a. `P(3` cares`|` parell`)``=1/3(0+4/16+20/64)=1/3(16/64+20/64)=36/(3·64)=3/16` c) Si la primera moneda ha estat creu vol dir que ha de sortir `4,5` o `6` el resultat del dau per poder tenir `3` cares. La probabilitat que surti el dau `4,5` o `6` és `1/6` per cadascun d'ells. Com surt creu a la primera tirada de monedes cal calcular que amb les `3,4` o `5` monedes resultants surtin tres cares tornem a tenir problemes de binomial que son els tres primers càlculs de l'apartat a. `P(3` cares`|`la primera moneda creu`)``=1/6(1/8+4/16+10/32)=1/6(4/32+8/32+10/32)=1/6·22/32=11/96`