Problema 5-L’Anna i el Blai juguen al joc següent: començant per l’Anna, s’alternen tirant una moneda equilibrada fins a un màxim de 4 cops cadascú; el primer que obtingui cara guanya, i si els hi surten vuit creus empaten. a) Calcula la probabilitat que guanyi l’Anna i la probabilitat que guanyi el Blai. Qui té més possibilitats de guanyar? b) Aquestes dues quantitats han de sumar `1`? Justifica la resposta. c) Ara suposem que la moneda està trucada i que la probabilitat que surti cara en una tirada és `0 < p < 1`. Quan ha de ser `p` per tal que l’Anna tingui el triple de possibilitats de guanyar el joc? Solució: a) Hi ha tres esdeveniments interessants, incompatibles i que tots tres fan tot l'espai mostral. `A`, que guanyi l'Anna, `B` que guanyi en Blai i `C`, que empatin. recordem `P(A)+P(B)+P(C)=1`. Començarem amb la probabilitat de que empatin. Vol dir que en `8` tirades ha sortit tot creus `p_(empat)=(1/2)^8=1/256` -1a tirada surt cara quanya l'Anna, de moment `p_(A_1)=1/2` que és el mateix que `p_A=128/256`. -2a tirada surt cara guanya en Blai (havent sortit la 1a creu. +,c), de moment `p_(B_1)=1/2·1/2=1/4=64/256` -3a tirada surt cara (recordem que ha d'haver sortit +,+,c), guanya Anna, `p_(A_2)=1/2·1/2·1/2=1/8=32/256` -4a tirada surt cara (+,+,+,c), guanya Blai, `p_(B_2)=1/2·1/2·1/2·1/2=1/16=16/256` -5a tirada surt cara (+,+,+,+,c), guanya Anna, `p_(A_3)=(1/2)^5=1/32=8/256` -6a tirada surt cara (+,+,+,+,+,c), guanya Blai, `p_(B_3)=(1/2)^6=1/64=4/256` -7a tirada surt cara (+,+,+,+,+,+,c), guanya Anna, `p_(A_4)=(1/2)^7=1/128=2/256` -8a tirada surt cara (+,+,+,+,+,+,+,c), guanya Blay, `p_(B_4)=(1/2)^8=1/256` Anna: `P_A=p_(A_1)+p_(A_2)+p_(A_3)+p_(A_4)=128/256+32/256+8/256+2/256=170/256 = 0,664062` Blai: `P_B=p_(B_1)+p_(B_2)+p_(B_3)+p_(B_4)=64/256+16/256+4/256+1/256=85/256 = 0,332031` Evidentment l'Anna té una probabilitat més gran que en Blai de guanyar. b) `P_A+P_B=170/256+85/256=255/256` No sumen `1` perquè hi ha l'esdeveniment que empatin. Que surtin tot creus en les `8` tirades. `p_(empat)=1/256` c) Si `p` és la probabilitat de que surti `c`; `(1-p)` és la probabilitat de que surti `+`: Els casos favolrables a l'Anna són `{c}; {+,+,c}; {+,+,+,+,c}; {+,+,+,+,+,+,c}` I a en Blai, `{+,c}; {+,+,+,c}; {+,+,+,+,+,c}; {+,+,+,+,+,+,+,c}` I recordant que `P(c)=p` i `P(+)=(1-p)` per trobar les probabilitats cal multiplicar: `P_A=p+(1-p)^2p+(1-p)^4p+(1-p)^6p` i `P_B=(1-p)p+(1-p)^3p+(1-p)^5p+(1-p)^7p` Si ens hi fixem veiem que `P_B=(1-p)·P_A` I com volem que `P_A=3P_B` `P_B=(1-p)·3P_B` `1=(1-p)·3` `1/3=1-p` `p=1-1/3` `p=2/3`