Siguin els plans `pi_1` i `pi_2`, determinats respectivament per les equacions `pi_1: x + y = 3` i `pi_2: x – z = –2`.

a)Trobeu l’equació general `(Ax + By + Cz + D = 0)` del pla `pi_3`, que és perpendicular a `pi_1` i `pi_2`, i que passa pel punt `P = (4, 1, 2)`. [0,75 punts]

Solució:
    Per trobar l'equació del pla, `pi_3` calcularem el producte vectorial dels dos vectors associats per obtenir el vector associat del pla buscat. Amb això tindrem `A, B, C` per la `D` podrem substituir en el punt que ens donen, `P = (4, 1, 2)`.

    $$
    \begin{vmatrix}
    i&j&k\\\
    1&1&0\\\
    1&0&-1
    \end{vmatrix}=-1i+-(-1)j-1k= -i+j-k
    $$
    El vector associat al pla `pi_3 = (-1,1,-1)`

    Si en el producte vectorial haguéssim posat els vectors al revés ens ves donat el mateix vector canviat de signe, que, també és un bon vector associat. Així la nostra equació del pla és:

    `-x+y-z+d=0`

    Com passa pel punt `P =>`

    `-4+1-2+d=0 => d=5`

    Per la qual cosa l'equació del pla cercat és:

    `-x+y-z+5=0`


ANNEX:

    Evidentment es podria trobar aquesta equació tenin en compte que els vectors associats de `pi_1` i `pi_2` son els directors del pla `pi_3` i fent que el vector `(x,y,z)-(4,1,2)` és linealment dependent amb els dos vectors directors, la qual cosa fa que el següent determinant sigui `0`. Si calculem aquest determinant, també, obtenim l'equació del pla buscat.

$$
\begin{vmatrix}
x-4&y-1&z-2\\\
1&1&0\\\
1&0&-1
\end{vmatrix}=0
$$


b)Sigui `r` la recta d’intersecció de `pi_1` i `pi_2`. Calculeu l’equació vectorial de la recta `r`. [0,75 punts]

Solució:
    Una forma de fer-ho seria resoldre el sistema format per les dues equacions del plans `pi_1` i `pi_2` recordant que com hi ha més equacions que incògnites és compatible indeterminat. la solució, geomètricament, és una recta.

    $$
    \begin{cases}
    x + y = 3\\
    x – z = –2\\
    z=\lambda
    \end{cases}
    $$
    $$
    \begin{cases}
    x + y = 3\\
    x – \lambda = –2\\
    z=\lambda
    \end{cases}
    $$
    $$
    \begin{cases}
    x + y = 3\\
    x = –2+\lambda\\
    z=\lambda
    \end{cases}
    $$

    A la primera equació substituim `x` pel seu valor en funció de `lambda` i tenim, `-2+lambda+y=3 => y=5-lamda`
    $$
    \begin{cases}
    x = –2+\lambda\\
    y=5-\lambda\\
    z=\lambda
    \end{cases}
    $$

    I ens queda:

    `(x,y,z)=(-2,5,0)+(1,-1,1)lambda`
ANNEX:
    Cal matisar que la pregunta, Calculeu l'equació vectorial, és matisable, hauria de dir, calculeu una equació vectorial ja que hi ha infinits vectors de posició i qualsevol vector proporcional al vector director, també, és un bon vector director. Per la qual cosa es poden donar moltes solucions igualment de vàlides en aquest exercici.

    Es pot comprovar que aquest vector de posició pertany als dos plans, per la qual cosa a la seva intersecció, ho sigui a la recta que defineixen.
$$
\begin{cases}
x + y = 3\\
x – z = –2
\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}
-2 + 5 = 3\\
-2 – 0 = –2
\end{cases}
$$


c)Calculeu el punt `Q` de la recta `r` que és més a prop del punt `P`. [1 punt]

Solució:
    Com tenim el pla que passa per `P` perpendicular a la recta cal trobar la intersecció entre aquest pla i la recta. Aquest pla l'hem trobat a l'apartat a.

    `-x+y-z+5=0`

    I com tenim que l'equació de la recta és:

    `(x,y,z)=(-2,5,0)+(1,-1,1)lambda= (-2+lambda,5-lambda,lambda)`


    Ho sbstituim a l'equació del pla:

    `-(-2+lambda)+5-lambda-lambda+5=0`

    `2-lambda+5-lambda-lambda+5=0`

    `-3lambda+12=0 => lambda=12/3=4`


    Ho substituim a l'equació de la recta:

    `(x,y,z)=(-2+lambda,5-lambda,lambda)=(-2+4,5-4,4)=(2,1,4)`