2-(2019-juny-4-2) Siguin la recta: $$ r:\begin{cases} x=2\\ y-z=1 \end{cases} $$ i el pla `pi:x-z=3` a) Calculeu l'equació paramètrica de la recta que és perpendicular al pla `pi` i que el talla en el mateix punt en què el talla la recta `r`. b) Trobeu els punts de `r` que estan a una distància de `sqrt(8)` unitats del pla `pi` Nota: Podeu calcular la distància que hi ha d'un punt de coordenades `(x_0, y_0, z_0)` al pla d'equació `Ax + By + Cz + D = 0` amb l'expressió `|Ax_0+By_0+Cz_0+D|/sqrt(A^2+B^2+C^2)` a) Cal buscar el punt d'intersecció entre la recta i el pla. Resolem el sistema. $$ \begin{cases} x-z=3\\ x=2\\ y-z=1 \end{cases} $$ `x=2 => 2-z=3 => z=-1` `y+1=1 => y=0` `(2,0,-1)` Calculem l'equació de la recta que passa per `(2,0,-1)` i és perpendicular al pla `pi:x-z=3`. Vol dir que el vector director de la recta és l'associat del pla, `(1,0,-1)` `(x,y,z)=(2,0,-1)+(1,0,-1)t` $$ \begin{cases} x=2+t\\ y=0\\ z=-1-t \end{cases} $$ b) Distancia de qualsevol punt al pla `pi`, `|x-z-3|/sqrt(1^2+0^2+(-1)^2)` (1) Escrivim a recta `r` en forma paramètrica. `(2,1+t,t)`. (2) Si substituïm (2) a (1) i ho igualem a `sqrt(8) =>` `|2-t-3|/sqrt(2)=sqrt(8)` `|-1-t|=sqrt(16)=4` `-1-t=4 => t=-5` `-1-t=-4 => t=3` Per lo tant com que els punts de la recta són `(2,1+t,t)` i substituint els dos valors de `t`: `(2,-4,-5)` i `(2,4,3)`