3-(2019-juny-4-5) Considereu els plans `pi_1: 2x + ay + z = 5`, `pi_2: x + ay + z = 1` i `pi_3: 2x + (a + 1)y + (a + 1)z = 0`, en què `a` és un paràmetre real. a) Estudieu per a quins valors del paràmetre `a` els tres plans es tallen en un punt. b) Comproveu que per al cas `a = 1` la interpretació geomètrica del sistema format per les equacions dels tres plans és la que es mostra en la imatge següent: SOLUCIÓ: a) El sistema format pels tres plans ha de ser compatible determinat. Per la qual cosa cal que el determinant de la matriu del sistema no sigui `0`. Buscarem quen val `0` i aquests valors seran els que faran que els tres plans no es tallin en un únic punt. $$ \begin{cases} 2x + ay + z = 5 \\ x + ay + z = 1 \\ 2x + (a + 1)y + (a + 1)z = 0 \end{cases} $$ $$ A=\begin{pmatrix} 2 & a & 1\\\ 1 & a & 1\\\ 2 & (a+1) & (a+1) \end{pmatrix} $$ `Det A = 2·a·(a+1)+a·1·2+1·1·(a+1)-[2·a·1+2·1·(a+1)+1·a·(a+1)]` `Det A = 2a^2+2a+2a+a+1-[2a+2a+2+a^2+a]` `Det A = 2a^2+2a+2a+a+1-2a-2a-2-a^2-a` `Det A = a^2-1` `a^2-1=0 => a=pm1` CONCLUSIÓ: si, `a\ne\pm1`, el sistema serà compatible determinat per la qual cosa els tres plans es tallaran en un, únic, punt. b) Si `a=1 =>` $$ \begin{cases} 2x + ay + z = 5 \\ x + ay + z = 1 \\ 2x + (a + 1)y + (a + 1)z = 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 2x + y + z = 5 \\ x + y + z = 1 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \end{cases} $$ El sistema format per les dues últimes equacions: $$ \begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \end{cases} $$ És un sistema incompatible ja que, part amb incògnites, la segona equació és el doble de la primera, una és combinació lineal de l'altra: `2x+2y+2z=2(x+y+z)` I l'ampliada, amb els termes independents inclosos, no: `2x+2y+2z-0 \ne 2(x+y+z-1)` Això correspont a dues equacions de dos plans paral·lels. L'altra equació de l'altre pla no és combinació lineal de les anteriors, per la qual cosa no és paral·lela.