4-(2019-setembre-5-5) Siguin `P`, `Q` i` R` els punts d'intersecció del pla d'equació `x + 4y + 2z = 4` amb els tres eixos de coordenades `OX`, `OY` i `OZ`, respectivament.
    `a)` Calculeu els punts `P`, `Q` i `R`, i el perímetre del del triangle de vèrtexs `P`, `Q` i `R`.

    `b)` Calculeu l'àrea del triangle de vèrtexs `P`, `Q` i `R`.
Nota: Per a calcular l'àrea del triangle definit pels vectors `v` i `w` podeu fer servir l'expressió `S=1/2 |v` x `w|` , en què `v` × `w` és el producte vectorial dels vectors `v` i `w`.


    SOLUCIÓ:

    a-i) El punt de tall amb l'eix `OX` es troba quan `y=0` i `z=0`, etc.


      `x + 4y + 2z = 4` si `y=0` i `z=0 => x=4 => (4,0,0)`


      `x + 4y + 2z = 4` si `x=0` i `z=0 => 4y=4 => y=1 => (0,1,0)`


      `x + 4y + 2z = 4` si `x=0` i `y=0 => 2z=4 => z=2 => (0,0,2)`



    a-ii) Per trobar el perímetre podem sumar els móduls dels tres vectors que van d'un punt a l'altre.

      `v_1=(4,0,0)-(0,1,0)=(4,-1,0)`

      `v_2=(0,1,0)-(0,0,2)=(0,1,-2)`

      `v_3=(0,0,2)-(4,0,0)=(-4,0,2)`


      Perímetre `= |``(4,-1,0)``|+|``(0,1,-2)``|+|``(-4,0,2)|`

      `=sqrt(4^2+(-1)^2+0^2)+sqrt(0^2+1^2+(-2)^2)+sqrt((-4)^2+0^2+2^2)`

      `sqrt(17)+sqrt(5)+sqrt(20)\approx 10'83u`





    b) Hem de calcular el mòdul del producte vectorial de dos dels vectors.

    $$
    v_1 \times v_2=\begin{vmatrix}
    i & j & k\\\
    4 & -1 & 0\\\
    0 & 1 & -2
    \end{vmatrix}=2i+4k-(-8j)=(2,8,4)
    $$

    Calculem el mòdul d'aquest vector `|``(2,8,4)``|` `=sqrt(2^2+8^2+4^2)=sqrt(84)`


    Àrea = `1/2``|``(2,8,4)``|``=sqrt(84)/2\approx 4'58u^2`