7-(2020-setembre-4-2) Un avió es desplaça des d'un punt `A = (0, 3, 1)` cap a una plataforma plana d'equació `pi: x - 2y + z = 1` seguint una recta `r` paral·lela al vector `v = (1, -1, 0)`. a) Calculeu les coordenades del punt de contacte `B` de l'avió amb el pla i la distància recorreguda. b) Calculeu l'equació general del pla perpendicular a la plataforma i que conté la recta `r` seguida per l'avió des del punt `A`. a) Cal trobar la intersecció entre la recta que passa pel punt `(0,3,1)` i té com a vector director, `(1,-1,0)` i el pla, `pi: x - 2y + z = 1`. Equacio vectorial de la recta `(x,y,z)=(0,3,1)+(1,-1,0)t => (x,y,z)=(t,3-t,1)` si substituïm a l'equació del pla: `t-2(3-t)+1=1 => t-6+2t=0 => 3t=6 => t=6/2=2` Per la qual cosa el punt buscat és: `B=(2,3-2,1)=(2,1,1)` Per trobar la distància recorreguda calcularem el mòdul del vector que va de `P` a `B`, `\vec(PB)=(2,1,1)-(0,3,1)=(2,-2,0)` `|\vec(PB)|=sqrt(2^2+(-2)+0^2)=sqrt(8)=2sqrt(2)u` b) Els vectors directors del pla poden ser, el perpendicular al pla, l'associat, `(1,-2,1)` i `\vec(PB)=(2,-2,0)` i com a vector de posició podem agafar tan, `A=(0,3,1)` com `B=(2,1,1)`. Per calcular l'equació del pla podem calcular el determinant igualat a `0`: $$ \begin{vmatrix} x & y-3 & z-1\\\ 1 & -2 & 1\\\ 2 & -2 & 0 \end{vmatrix}=2y-6-2z+2-(-4z+4-2x)=0 $$ `2y-6-2z+2+4z-4+2x=2x+2y+2z-8=0` `x+y+z-4=0`