8-(2020-setembre-4-6) Siguin les rectes `r` i `s`, expressades per `(x-3)/2= y = z - 1` i `(mu, -mu, mu)`, respectivament. a) Determineu la posició relativa de les rectes. b) Calculeu la distància entre la recta `r` i la recta `s`. a) Calculem els vectors directors i de posició de les dues rectes: `r:` vector director, `(2,1,1)`, vector de posició, `(3,0,1)`. `s:` vector director, `(1,-1,1)`, vector de posició, `(0,0,0)`, ja que, `(x,y,z)=(mu,-mu,mu)=(0,0,0)+(1,-1,1)mu` Les dues rectes no són paral·leles ja que `2/1\ne1/(-1)\ne1/1` Per trobar la posició relativa podem substituir un punt genèric de la recta `s`, `(mu,-mu,mu)` en la recta `r` i veure si existeix un únic `mu` que definidia el punt de tall, si les dues rectes es tallessin. `(mu-3)/2=-mu => mu-3=-2mu => 3mu=3 => mu=1` `-mu=mu-1 => -2mu=-1 => mu=1/2` O sigui, no es tallen, es creuen. b) Per trobar la distància entre les dues rectes calcularem la distància entre una recta (un punt de la recta `P=(3,0,1)`, per exemple) i el pla que passa per l'altra recta i és paral·lel a la 1a recta. Cal calcular l'equació del pla que passa pel punt `(0,0,0)` i té com a vectors directors `(2,1,1)` i `(1,-1,1)`. Per fer-ho calcularem el determinant i l'igualarem a `0`: $$ \begin{vmatrix} x-0 & y-0 & z-0\\\ 2 & 1 & 1\\\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} x & y & z\\\ 2 & 1 & 1\\\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}=x+y-2z-(z-x+2y)=0 $$ `pi:2x-y-3z=0` Calculem la distancia del punt `(3,0,1)` al pla, `2x-y-3z=0`. `D(P,pi)=|Ax+By+Cz+D|/sqrt(A^2+B^2+C^2)=|2·3-0-3·1|/sqrt(2^2+(-1)^2+(-3)^2)=3/sqrt(14)=(3sqrt(14))/14u`