1-(2009-juny-4) 1. Donats el punt P = (1, 2, 3) i la recta r :
a) Trobeu l’equació cartesiana (és a dir, de la forma Ax + By + Cz + D = 0) del pla π que passa per P i és perpendicular a la recta r.
b) Trobeu el punt de tall entre la recta r i el pla π.
[1 punt per cada apartat]

a)

Com a vector associat del pla podem posar el vector director de la recta, (2, 3, -1) ja que volem que la recta sigui perpendicular al pla. Per la qual cosa l'equació de la recta quedarà:

2x + 3y - z + D = 0

Per trobar el valor de D podem sustituir a l'equació pel punt (1, 2, 3) el qual volem que pertanyi al pla.

2·1 + 3·2 - 3 + D = 0

5 + D = 0

D = -5

L'equació de la recta queda:

2x + 3y - z - 5 = 0

b)

Per trobar el punt de tall cal resoldre el sistema següent:

2x + 3y - z - 5 = 0

En primer lloc el que fem és trobar les equacions paramètriques de la recta:

x = 1 + 2t
y = -2 + 3t
z = 5 - t

I les substituïm en l'equació del pla.

2(1+2t) + 3(-2+3t) - (5-t) - 5 = 0

2 + 4t - 6 + 9t - 5 + t - 5 = 0

14t - 14 = 0

t = 1

I ara substituïm t a les equacions paramètriques de la recta per trobar el punt de tall.

x = 1 + 2·1
y = -2 + 3·1
z = 5 - 1

El punt de tall és (3, 1, 4)