ÀLGEBRA -(2023-juny-1-2) Considereu les dues matrius següents: $$ A=\begin{pmatrix} 2&-3&-5\\\ -1&4&5\\\ 1&-3&-4 \end{pmatrix} B=\begin{pmatrix} 2&2&0\\\ -1&-1&0\\\ 1&2&1 \end{pmatrix} $$
b) Siguin `C` i `D` dues matrius quadrades del mateix ordre que satisfan `C · D = C` i `D · C = D`. Comproveu que les dues matrius, `C` i `D`, són idempotents. [1 punt] Nota: Una matriu quadrada s’anomena idempotent si coincideix amb el seu quadrat. SOLUCIÓ -(2023-juny-1-4) Sigui el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real `\lambda`: $$ \begin{cases} x+2\lambda y+(2+\lambda)z=0\\ (2+\lambda)x+y+2\lambda z=3\\ 2\lambda x+(2+\lambda)y+z=-3\end{cases} $$
b-Per al cas `\lambda = –1`, resoleu el sistema, interpreteu-lo geomètricament i identifiqueu-ne la solució. [1,25 punts] SOLUCIÓ -(2023-setembre-2-1) Siguin $$ A=\begin{pmatrix} 2&1\\\ 3&2 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 2&-1\\\ -3&2 \end{pmatrix} $$ i la matriu identitat d'ordre dos $$ I=\begin{pmatrix} 1&0\\\ 0&1 \end{pmatrix} $$
b) Utilitzant la igualtat de l’apartat anterior, trobeu la matriu inversa de la matriu `A` en funció de les matrius `A` i `I`, i comproveu que coincideix amb la matriu `B`. [1,25 punts] c) Calculeu la matriu `X` que satisfà la igualtat `A · X = B`. [0,75 punts] SOLUCIÓ -(2023-setembre-2-3) Sigui el sistema d’equacions lineals , en què `m` és un nombre real. $$ \begin{cases} 2x+y=1+z\\ my+z=2-x\\ mz+3=3x+y \end{cases} $$
b) Resoleu el sistema, si té solució, per al cas `m = 1`. [1,25 punts] SOLUCIÓ -(2020-juny-1-2). Considereu el sistema d'equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real `k`: $$ \begin{cases} 5x+y+4z=19 \\ kx+2y+8z=28 \\ 5x+y-kz=23+k \end{cases} $$
b) Resoleu, si és possible, el sistema per al cas `k = 0`. SOLUCIÓ -(2020-juny-1-5). Sigui la matriu: $$ A=\begin{pmatrix} 1 & 1\\\ -3 & -4 \end{pmatrix} $$
b) Comproveu que la matriu X és invertible i calculeu-ne la matriu inversa. SOLUCIÓ -(2020-juny-3-1). Sigui la matriu: $$ A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\\ 1 & -1 & 1\\\ 0 & a & 1 \end{pmatrix} $$ , en què `a` és un paràmetre real.
b) Comproveu que `det(A^2 + A) = 0`. SOLUCIÓ -(2020-juny-3-3). Considereu el sistema d'equacions lineals següent: $$ \begin{cases} ax+y=a \\ x+ay+z=5 \\ x+2y+z=5 \end{cases} $$
b) Resoleu el sistema per al cas `a = 2`. SOLUCIÓ -(2020-setembre-4-4). Sigui la matriu: $$ A=\begin{pmatrix} a & -3 & 0\\\ 4 & a-7 & 1\\\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} $$ , en què `a` és un paràmetre real.
b) Comproveu que per a `a = 4` la matriu `A` és invertible i que es verifica que `A^(-1) = A^2`. SOLUCIÓ -(2019-juny-1-2). Considereu el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real `k`: $$ \begin{cases} x+3y+2z=-1 \\ x+k^2y+3z=2k \\ 3x+7y+7z=k-3 \end{cases} $$
b) Resoleu el sistema per al cas `k = –1`. SOLUCIÓ -(2019-juny-4-3). Considereu el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real `a`: $$ \begin{cases} ax+7y+5z=0 \\ x+ay+z=3 \\ y+z=-2 \end{cases} $$
b) Resoleu el sistema per al cas `a = 2`. SOLUCIÓ |