Teorema de Bayes Apunts introducció a la probabilitat `P(A|B)=(P(A \cap B))/(P(B))`       i       `P(B|A)=(P(A \cap B))/(P(A))` `P(A \cap B) = P(B)·P(A|B)`       i       `P(A \cap B) = P(A)·P(B|A)` `P(B)·P(A|B)=P(A)·P(B|A)` Teorema de Bayes (f1): `P(A|B)=(P(A)·P(B|A))/(P(B))` Suposem que tenim `E`, Espai mostral d'una certa experiència aleatòria partit per `{A_1,A_2,...,A_n}, n` esdeveniments mutuament excloents `=>` 1- `A_1 \cup A_2 \cup ... A_n=E` 2- `A_i \cap A_j = \emptyset` ` \forall i,j<=n` `/ i ne j ` Tot plegat fa que `B= \sum_{i=1}^n A_i \cap B` `=>` `P(B)= \sum_{i=1}^\n P(A_i \cap B)` `=>` `P(B)= \sum_{i=1}^\n P(A_i)· P(B|A_i)` (f2) Fórmula de bayes (f3): `P(A_k|B)=(P(A_k)·P(B|A_k))/(\sum_{i=1}^\n P(A_i)· P(B|A_i))` Exemple 1: La probabilitat que un autobús que va a Barcelona tingui un accident en un dia ennuvolat és de `0,09`, i en un dia de sol, `0,005`. Durant un perióde de deu dies ha fet set dies de sol i tres ennuvolat. Sabent que s’ha produït un accident en aquest dies, troba: a) La probabilitat que s’hagi produït en un dia ennuvolat. b) La probabilitat que s’hagi produït en un dia de sol. Solució: Esdeveniments: `E`, estar ennubolat - `S`, dia assolejat. `A` accident - `N` no accident. Dades que ens donen: `P(A|E)=0,09` - `P(A|S)=0,005`. `P(S)=7/10=0,7` - `P(E)=3/10=0,3` Necessitem saber la probabilitat de tenir un accident (f2): `P(A)=P(E)·P(A|E)+P(S)·P(A|S)=0,3*0,09+0,7*0,005 = 0,0305` Respostes: Apliquem teorema de Bayes (f1) a) `P(E|A)=(P(E)·P(A|E))/(P(A))=(0,3*0,09)/(0,0305) = 0,885246` b) `P(S|A)=(P(S)·P(A|S))/(P(A))=(0,7*0,005)/(0,0305) = 0,114754` Exemple 2: Coneixem que una malatia anomenada X la pateix l'`1 %` de la població. La prova mèdica que la detecta té un error del `5%` en falsos positius i un `2%` en falsos negatius. Si una persona li passem la prova i dona positiva, quina és la probabilitat de què tingui realment la malatia? Solució: Esdeveniments: `M`, Té la malaltia - `\overline M`, no la té. `P` dona positiva la prova - `\overline P` dona negatiu la prova. La pregunta que ens fan és, la probabilitat que tingui la malatia si ha donat positiu. `P(M|P)`. Dades que ens donen: `P(M)=0,01` `=>` `P(\overline M) = 0,99` `P(P|\overline M)=0,05` `=>` `P(\overline P | \overline M)=0,95` `P(\overline P | M)=0,02` `=>` `P(P|M)=0,98` `P(M|P)=(P(M)·P(P|M))/(P(P))=(P(M)·P(P|M))/(P(M)·P(P|M)+P(\overline M)·P(P|\overline M))=(0,01*0,98)/(0,01*0,98+0,99*0,05) = 0,165261` Exemple 2': I, en el cas anterior, si una persona dona negatiu, quina és la probabilitat que tingui la malaltia? Solució: Esdeveniments: `M`, Té la malaltia - `\overline M`, no la té. `P` dona positiva la prova - `\overline P` dona negatiu la prova. La pregunta que ens fan és, la probabilitat que tingui la malatia si ha donat negatiu. `P(M|\overline P)`. Dades que ens donen: `P(M)=0,01` `=>` `P(\overline M) = 0,99` `P(P|\overline M)=0,05` `=>` `P(\overline P | \overline M)=0,95` `P(\overline P | M)=0,02` `=>` `P(P|M)=0,98` `P(M|\overline P)=(P(M)·P(\overline P|M))/(P(\overline P))=(P(M)·P(\overline P|M))/(P(M)·P(\overline P|M)+P(\overline M)·P(\overline P|\overline M))=(0,01*0,02)/(0,01*0,02+0,99*0,95) = 0,000213` Exemple 2'': Finalment ens preguntarem pel càlcul de les dues probabilitats que ens falten: La probabilitat de no tenir la malaltia en cas de donar positiu i no tenir la malaltia en cas de donar negatiu. Solució: Esdeveniments: `M`, Té la malaltia - `\overline M`, no la té. `P` dona positiva la prova - `\overline P` dona negatiu la prova. Les preguntes que ens fan son, `P(\overline M|P)` i `P(\overline M|\overline P)`. Dades que ens donen: `P(M)=0,01` `=>` `P(\overline M) = 0,99` `P(P|\overline M)=0,05` `=>` `P(\overline P | \overline M)=0,95` `P(\overline P | M)=0,02` `=>` `P(P|M)=0,98` `P(\overline M|P)=(P(\overline M)·P(P|\overline M))/(P(P))=(P(\overline M)·P(P|\overline M))/(P(M)·P(P|M)+P(\overline M)·P(P|\overline M))=(0,99*0,05)/(0,01*0,98+0,99*0,05) = 0,834739` `P(\overline M|\overline P)=(P(\overline M)·P(\overline P|\overline M))/(P(\overline P))=(P(\overline M)·P(\overline P|\overline M))/(P(M)·P(\overline P|M)+P(\overline M)·P(\overline P|\overline M))=(0,99*0,95)/(0,01*0,02+0,99*0,95) = 0,999787` Podem fer la següent comprovació, entre els que donen positiu la suma de les probabilitats de tenir o no tenir la malaltia ha de donar `1 =>` `P(M|P)+P(\overlineM|P)=0,165261+0,834739 = 1` I entre els que donen negatiu,la suma de les probabilitats de tenir o no tenir la malaltia ha de donar `1 =>` `P(M|\overline P)+P(\overline M|\overline P)=0,000213+0,999787 = 1`