2019 - Juny - sèrie 4 - 1. Un comerciant pot comprar articles a `350 €` la unitat. Si els ven a `750 €` la unitat, en ven `30`. Sabem que la relació entre aquestes dues variables (el preu de venda i el nombre d’unitats venudes) és lineal i que, per cada descompte de `20` € en el preu de venda, incrementa les vendes en `3` unitats. Considerant que el comerciant només comprarà el nombre d’articles que sap que vendrà: a) Escriviu la funció de beneficis a partir del nombre de vegades `x` que s’aplica el descompte. [1 punt] b) Determineu el preu de venda que fa màxims els beneficis del comerciant i justifiqueu que és un màxim. Determineu quantes unitats vendrà. [1 punt] SOLUCIÓ: a) Diem `x` al nombre de vegades que baixem el preu `20€`. Per la qual cosa si calculem el benefici que obtindríem si no baixem el preu: `750-350=400` € de benefici per cada unitat venuda. Com que en venem `30`, Benefici `=400·30=12000`. Així doncs el preu de venta per unitat en funció del nombre de cops, `x`, que descompti `20€` és `P(x)=750-20x`. El benefici per unitat serà `750-20x-350=400-20x`, ja que ens costa `350€` preu de cost. El nombre d'unitats venudad és `U(x)=30+3x`, per la qual cosa el benefici en funció del nombre de cops que s'ha fet el descompte és: `B(x)=(400-20x)·(30+3x)=-60x^2+600x+12000` b) El màxim benefici el tindrem quan la funció anterior té un màxim i el trobarem calculant la derivada i igualant-la a `0` `B(x)=-60x^2+600x+12000` `B'(x)=-120x+600` `-120x+600=0 => x=600/120=5` Per demostrar que és un màxcim calculem la segona derivada de `B(x)`. `B''(x)=-120<0 =>` màxim. El preu de venda per `5` vegades que s'ha fet el decompte és: `P(x)=750-20x => P(5)=750-20·5=650€` per unitat. El nombre d'unitats que vendrà és `U(x)=30+3x => U(5)=30+3·5=45`. El problema no ho demana, però si es volgués calcular el benefici màxim, podem substituir `5` a la funció, `B(x)=-60x^2+600x+12000`. `B(5)=-60·5^2+600·5+12000=13500€`. Recordo que el problema no ho demana. Per ajudar a entendre el problema escric una taula amb els beneficis suposant que desconto `1, 2, 3,...` cops `20€` i calculem els beneficis que obtindrem en cada cas. Si fem la taula ja podem veure quans cops hem de descomptar `20€` per obtenir el màxim benefici.