REPASSEM PER L’EXAMEN DE TRIGONOMETRIA


1-a)Quants graus mesura un radià?

b)Quants graus són `pi/6`, `pi/2` radians?

c)Quants graus són `(3pi)/2`, `3pi` radians?

d)Quants radians són 180º, 30º, 720º, 12º?

    SOLUCIÓ:

      `pi/6=180/6=30º`

      `pi/2=180/2=90º`


      `(3pi)/2=(3·180)/2=270º`

      `3pi=3·180=540º`


      `180=pi`

      `30/180·pi=pi/6`

      `720/180·pi=4pi`

      `12/180·pi=pi/15`




2-Sabent que `a` és un angle agut i que el `sin a = 0’38`, calcula `cos a` i `tg a` sense calcular l’angle.

    SOLUCIÓ:

      A partir de les relacions entre les diferents raons trigonomètriques tenim: `sin^2a+cos^2a=1`

      `0'38^2+cos^2a=1`

      `cos^2a=1-0'38^2`

      `cosa=sqrt(1-0'38^2)=0'92`

      I com `tana=sina/cosa`

      `tana=(0'38)/(0'92) = 0'41`






3-Expressa les raons trigonomètriques de 267º amb les raons trigonomètriques d’un angle del `1r` quadrant.

    SOLUCIÓ:

      267º está en el 3r quadrant ja que és més petit que 270º i més gran que 180º.

      Si li restem 180º tindrem l'angle equivalent (excepte signes) en el primer quadrant.

      `267-180=87 =>`

      `sin 267 = -sin 87`

      `cos 267 = -cos 87`

      `tan 267 = tan 87`



b)Expressa les raons trigonomètriques de 1195º amb les raons trigonomètriques d’un angle més petit que 45º

    SOLUCIÓ:

      Li restarem `3` voltes, `360·3=1080 => 1195-1080=115`.

      O sigui les raons trigonomètriques de `1195` són les mateixes que les de `115` que està en el segon quadrant. `90<115<180`.

      Per passar `115` al seu equivalent del primer quadrant fem `180-115=65`. Si hi afegim els signes i com que `65>45` calculem el complementari per obtenir un angle més petit que `45`, `90-65=25`

      `sin1195=sin115=sin65=cos25`

      `cos1195=cos115=-cos65=-sin25`

      `tan1195=tan115=-tan65=(-1)/tan25`



4-Si ens trobem a `40` metres de la base d’un edifici i veiem el final de l’edifici amb un angle de 31º i l’alçada dels nostres ulls és de `1’72` metres. Calcula l’alçada de l’edifici.

    SOLUCIÓ:




5-Pugem una muntanya de `900` metres d’altura per una carretera de `12` km. Quin és l’angle mig de la carretera (respecte la horitzontal)?

    SOLUCIÓ:

      La carretera de `12` km (`12000` metres) és la hipotenusa i els `900` metres de pujada el catet oposat. La raó trigonomètrique que ens relaciona aquests dos costats és el `sin`.

      `sina=900/12000 =>`

      `a=arc sin(900/12000) = 4'3º`



6-Observant les mesures que ha pres en Joan per calcular l’amplada del riu, calcula-la.


    SOLUCIÓ:

      Podem aplicar el mètode de les tangents.

      `y/x=tan42`, `y/(50-x)=tan53`


      `y=0'9x`, `y=(50-x)1'33`. Ho resolem per igualació.


      `0'9x=(50-x)1'33`


      `0'9x=66'5-1'33x`


      `0'9x+1'33x=66'5`


      `2'23x=66'5`


      `x=(66'5)/(2'23) = 29'8` metres. Finalment per trobar la `y`, l'amplada del riu:


      `y=0'9x = 0'9*29'8 = 26,8` metres.




7-Calcula l’àrea i el perímetre del següent triangle.


    SOLUCIÓ:

      Cal trobar l'altura `a` i mitja base `b`.


      Sabem que `a/20=sin35` i `b/20=cos35 =>`


      `a=20·sin35=11'47`


      `b=20·cos35=16,38`


      Altura `= a = 11'47` metres i Base `=2b=2*16'38 = 32'76` metres.

      Per la qual cosa el perímetre és la suma dels tres costats (recorda que és un triangle isòscel·les.

      Perímetre `= 20*2+32'76 = 72,7` metres.

      I finalment l'àrea, base · altura / 2.

      Àrea `=(11'47*32'76)/2 = 187,88 m^2`