El problema de la braquistòcrona Es tracta de trobar quina és la trajectòria per anar d'`A` fins a `B` en el temps més petit, en un camp gravitatori constant i sense roçament. En primer lloc calcularem el temps per dos camins senzills. `T_1` Calculem el temps de la caiguda `a`. Per fer-ho i tenint en compta que és un moviment uniformment accelerat amb l'aceleració la de la gravetat `g`. Fem servir la fórmula: `a=1/2g·t^2` `t_1=sqrt((2a)/g)` I el temps per a recórrer l'espai `b` que considerem com un moviment uniforme amb velocitat constant. Per Per a calcular la velocitat: `v=g·t` `v=gsqrt((2a)/g)` `v=sqrt(2ag)` I el temps serà: `v=e/t` `t=e/v` `t_2=b/sqrt(2ag)` Per lo qual el temps total serà la suma dels dos temps: `T_1=sqrt((2a)/g)+b/sqrt(2ag)` `T_1=sqrt((4a^2)/(2ag))+b/sqrt(2ag)` `T_1=(2a+b)/sqrt(2ag)` `T_2` En segon lloc fent una línia recta. Com s'ha de conservar l'energia la velocitat final serà la mateixa que en el cas anterior. Si partim de les dues equacions del movimient uniformement accelerat. En aquest cas, `a` es l'acceleració. `e=1/2at^2` y `v=at` De la segona obtenim que `a=v/t` substituint en la primera equació. `e=1/2·v/t·t^2` `e=1/2vt` `t=(2e)/v` En el primer cas hem vist que `v=sqrt(2ag)` sent `a` l'altura de caiguda, el catet vertical del triàngle. `T_2=(2e)/sqrt(2ag)=(2sqrt(a^2+b^2))/sqrt(2ag)` Si donem valors concrets, per exemple `a=10` i `b=20` descobrim que: `T_1=(2a+b)/sqrt(2ag)=(2·10+20)/sqrt(2·10·10)=40/sqrt(200)=4/sqrt(2)=2'83` seg. `T_2=(2sqrt(a^2+b^2))/sqrt(2ag)=(2sqrt(10^2+20^2))/sqrt(2·10·20)=(2sqrt(500))/sqrt(400)=(20sqrt(5))/20=2'24` seg. El que confirma que el temps pot ser diferent. L'idea del problema de la braquistòcrona és: Trobar la trajectoria que minimitza aquest temps.