Equació d'Schrödinger. Independent del temps (si el potencial no depèn de t) Ingredients Equació d'Schödinger `(-ℏ^2)/(2m)·(partial^2\Psi(x,t))/(partialx^2)+V(x)\Psi(x,t)=iℏ(partial\Psi(x,t))/(partial t)` `Psi(x,t)=psi(x)·\varphi(t)` `V(x,t)=V(x)` Càlculs, separació de variables: `(-ℏ^2)/(2m)·(partial^2 psi(x)·\varphi(t))/(partialx^2)+V(x)psi(x)·\varphi(t)=iℏ(partial psi(x)·\varphi(t))/(partial t)` `(partial^2 psi(x)· \varphi(t))/(partial x^2)=\varphi(t) (partial^2\varphi(x))/(partial x^2)` i `(partial psi(x)· \varphi(t))/(partial t)= psi(x) (partial\varphi(t))/(partial t)` `(-ℏ^2)/(2m)·\varphi(t)·(partial^2 psi(x))/(partial x^2)+V(x)·psi(x)·\varphi(t) = i ℏ·psi(x)·(partial \varphi(t))/(partial t)` Si ho multipliquem tot per, `1/(psi(x)·\varphi(t)) =>` `(-ℏ^2)/(2m)·(\varphi(t))/(psi(x)·\varphi(t))·(partial^2 psi(x))/(partial x^2)+V(x)·(psi(x)·\varphi(t))/(psi(x)·\varphi(t)) = i ℏ·(psi(x))/(psi(x)·\varphi(t))·(partial \varphi(t))/(partial t)` `(-ℏ^2)/(2m)·1/(psi(x))·(partial psi(x)^2)/(partial x^2)+V(x) = i ℏ·1/(\varphi(t))·(partial \varphi(t))/(partial t)` Tenim les variables separades per la qual cosa els dos costats han d'ésser iguals a una constant que anomerarem E (Energia total). `(-ℏ^2)/(2m)· 1/(psi(x))·(partial^2 psi(x))/(partial x^2)+V(x) = E` `i ℏ·1/(\varphi(t))·(partial \varphi(t))/(partial t) = E` La solució a la segona equació és senzilla. `(partial \varphi(t))/(partial t)= -(iE)/(ℏ) \varphi(t) => \varphi(t) = e^(-(iEt)/(ℏ))` La segona equació és l'anomenada equació d'Schrödinger independent del temps. `(-ℏ^2)/(2m) (partial^2 psi(x))/(partial x^2)+V(x)·psi(x) = Epsi(x)` En general la solució tindrà la següent forma `Psi(x,t)= psi(x)·e^(-(iEt)/(ℏ))`