1.1.17-(1993/3/A) Per què un sistema homogeni (de termes independents tots nuls) no pot ser mai incompatible? Raoneu la resposta i poseu un exemple de sistema homogeni de tres equacions amb tres incògnites que sigui compatible indeterminat.(2p)
Un sistema homogeni és aquell que els termes independents valen 0.
A1x + B1y + C1z = 0
A2x + B2y + C2z = 0
A3x + B3y + C3z = 0
1.
Perquè (0,0,0) sempre és solució.
2.
Exemple de sistema homogeni de 3 equacions amb 3 incògnites compatible indeterminat. Fem que la tercera equació sigui la suma de les dues primeres. Així la tercera equació és combinació lineal de les dues primeres i aquesta equació sobra. Tenim dues equacions amb 3 incògnites. Com que el sistema és homogeni, el sistema és COMPATIBLE, com hi ha menys equacions que incògnites INDETERMINAT.
També ho podem comprovar troban la solució:
Equació inicial:
+x +y +z = 0
+2x -y +z = 0
+3x 0y +2z = 0
Multipliquem la 1ª equació per (-2) i ho sumem a la 2ª equació multiplicada per 1 .
+x +y +z = 0
0x -3y -z = 0
+3x 0y +2z = 0
Multipliquem la 1ª equació per (-3) i ho sumem a la 3ª equació multiplicada per 1 .
+x +y +z = 0
0x -3y -z = 0
0x -3y -z = 0
Multipliquem la 2ª equació per 3 i ho sumem a la 3ª equació multiplicada per (-3) .
+x +y +z = 0
0x -3y -z = 0
0x 0y 0z = 0
Eliminem la 3ª equació.
+x +y +z = 0
0x -3y -z = 0
SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINAT.
Passem les incògnites no principals a l´altra banda.
+x +y = 0 -z
0x -3y = 0 +z
Multipliquem la 2ª equació per (-1) i ho sumem a la 1ª equació multiplicada per (-3) .
-3x 0y = 0 +2z
0x -3y = 0 +z
Dividim cada equació pel coeficient de la seva incògnita.
+x 0y = 0 -0.666667z
0x +y = 0 -0.333333z
SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINAT.
x = 0 -0.666667M y = 0 -0.333333M z = 0 + M