1.3.10-(1992/3B) Dues de les tres matrius següents no tenen inversa. Digueu quines són i perquè no en tenen, i calculeu la inversa de la que sí en té. (2 p)
| |
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
|
2 |
1 |
1 |
|
1 |
2 |
1 |
|
1 |
2 |
0 |
|
0 |
1 |
2 |
|
2 |
3 |
1 |
|
2 |
0 |
3 |
1.
La primera no té inversa perquè no és una matriu quadrada.
La segona, no té inversa perque el determinant val 0.
La tercera si té inversa perquè és quadrada i el seu determinant val 3, o sigui diferent de 0.
2.
Càlcul de la MATRIU INVERSA de:
|+1 +1 0|
|+1 +2 0|
|+2 0 +3|
Per calcular la MATRIU INVERSA de la matriu fem servir un altre mètode. Funciona de la següent manera:
Escribim la matriu identitat al costat.
|+1 +1 0 | +1 0 0|
|+1 +2 0 | 0 +1 0|
|+2 0 +3 | 0 0 +1|
Cal que la matriu 3*3 de l'esquerra quedi transformada en la identitat. Fem servir el mètode Gauss-Jordan.
Multipliquem la 1ª fila per (-1) i ho sumem a la 2ª fila.
|+1 +1 0 | +1 0 0|
| 0 +1 0 | -1 +1 0|
|+2 0 +3 | 0 0 +1|
Multipliquem la 1ª fila per (-2) i ho sumem a la 3ª fila.
|+1 +1 0 | +1 0 0|
| 0 +1 0 | -1 +1 0|
| 0 -2 +3 | -2 0 +1|
Multipliquem la 2ª fila per (-1) i ho sumem a la 1ª fila.
|+1 0 0 | +2 -1 0|
| 0 +1 0 | -1 +1 0|
| 0 -2 +3 | -2 0 +1|
Multipliquem la 2ª fila per 2 i ho sumem a la 3ª fila.
|+1 0 0 | +2 -1 0|
| 0 +1 0 | -1 +1 0|
| 0 0 +3 | -4 +2 +1|
Dividim la 3ª fila pel número 3 .
|+1 0 0 | +2 -1 0 |
| 0 +1 0 | -1 +1 0 |
| 0 0 +1 | -1.333333 +0.666667 +0.333333 |
La matriu INVERSA és:
|+2 -1 0 |
|-1 +1 0 |
|-4/3 +2/3 1/3|
Nota:
Per calcular la inversa, també o podiem haver fet pel mètode de transposar, calcular la matriu d'adjunts i dividir-ho tot pel determinant.