2.3.4-(1989/3/A)Trobeu l'àrea compresa entre les gràfiques de les funcions sin x i cos x en l'interval [pi/4,5pi/4]. (2 p)
Per trobar l'àrea entre dues funcions el que hem de fer primer és trobar els punt de tall entre les dues funcions. Si entre els extrems d'integració no hi ha cap punt de tall l'àrea serà el valor absolut de la integral definida entre els dos extrems d'integració d'una funció menys l'altre. En el cas de que hi havés punts de tall entre mig, caldria calcular la mateixa integral definida, però per cada tros i fer la suma dels valors absoluts.
Hem de resoldre la equació
sin(x) = cos(x)
Si ho dividim tot per cos(x) ens queda
tan(x) = 1
Els angles que la seva tangent val 1 són 45 i 270 que expressats en radiants són pi/4 i 5pi/4. Això fa que no hi hagi cap punt de tall entre els dos extrems d'integració (per casualitat, o perquè el profe que ha posat l'examen ho ha fet expressament) i per calcular l'àrea només hem de calcular la integral definida entre els dos extrems d'una funció menys l'altre i quedar-nos amb el valor absolut.
Integral definida[pi/4,5pi/4,cos(x)-sin(x)] = {sin(x)+cos(x)}(pi/4,5pi/4) = 2'8
Dibuixem la gràfica i veiem que hem calculat. El problema no ho demana.