La regla de Cramer

Un sistema de tres equacions amb tres incògnites

es pot escriure vectorialment com

És a dir, hi ha tres vectors A, B i C (fig. 1)

1. Representats en blau clar, els vectors (5,0,1), (1,0,3) i (2,3,1).

que si els multipliquem pels coeficients respectius x, y, z (fig. 2)

2. Els vectors (5,0,1), (1,0,3) i (2,3,1) multiplicats pels escalars 2, 3 i 2.5, (representats en blau) i el seu resultant, el vector (18,7.5,13.5) representat en vermell.

Comparem el volum que generen els vectors A, B i D (fig. 3, en vermell) amb el que generen A, B i zC (fig. 3, en blau); en verd s'ha ressaltat la base dels paral·lelepípedes:

3.

Es tracta de dos paral·lelepípedes de la mateixa base i de la mateixa altura, que estan inclinats diferent. Ambdós tenen, doncs, el mateix volum, per tant

Però si comparem el volum generat per A, B i zC amb el que generen A, B i C (fig. 4)

4.

observarem que el primer és z vegades el segon, per tant:

Combinant les dues expressions queda

d'on

5. El volum del paral·lelepípede A, B, D és z vegades el del paral·lelpípede A, B, C.

Expressions anàlogues es poden deduir per a x i y.

Les imatges s'han creat amb el programa POVRAY.

Copyright © Jaume Serra Nogués, 2010.
Teniu permís per a copiar, distribuir i/o modificar aquest document en les condicions de la Llicència de Documentació Lliure del GNU, versió 1.1 o qualsevol versió posterior publicada per la Fundació per al Programari Lliure (Free Software Foundation), http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html.